勾股定理
1. 知識總結
1. 勾股定理
內容：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方；
表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那麼
2．勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
常見方法如下：
方法一：，，化簡可證．
方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為, 大正方形面積為， 所以
方法三：
，，化簡得證
3．勾股定理的適用範圍
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關係，它只適用於直角三角形。
4．勾股定理的應用
①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊
在中，，則，，
②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關係
③可運用勾股定理解決一些實際問題
5．勾股定理的逆定理
內容：如果三角形三邊長，，滿足，那麼這個三角形是直角三角形，其中為斜邊。
6. 勾股數
常見：3 4 5； 5 12 13； 6 8 10； 7 24 25； 8 15 17；
9 12 15；9 40 41； 10 24 26；11 60 61； 12 16 20；
12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；
16 30 34； 16 63 65； 18 24 30； 18 80 82；
20 21 29； 25 60 65
7. 勾股定理的應用
勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關係的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什麼，以便運用勾股定理進行計算，應設法新增輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解．
8. 勾股定理逆定理的應用
勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關係判斷乙個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論．
9. 勾股定理及其逆定理的應用
勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的乙個整體．通常既要通過逆定理判定乙個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．
常見圖形：
10.互逆命題的概念
如果乙個命題的題設和結論分別是另乙個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
應用題的常見題型及數量關係：
(1)行程問題：路程＝速度×時間
(2)工程問題：工作總量＝工作效率×工作時間
(3)濃度問題：溶質＝溶液×濃度
(4)利率問題：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期數
(5)利潤問題：利潤＝成本×利潤率，利潤＝售價－成本
(6)**問題：總價＝單價×數量
(7)水流問題：順水速度＝靜水速度＋水流速度，逆水速度＝靜水速度－水流速度
此外還有：等積變形問題、數字問題、比例問題、調配問題、與幾何圖形相關的問題、…
2. 練習題
一. 選擇題
1．已知乙個rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ）
a、25b、14c、7d、7或25
2．等腰△abc的底邊bc為16，底邊上的高ad為6，則腰長ab的長為（ ）
a．10 b.12c.15d.20
3．下列說法正確的是（ ）
a．若 a、b、c是△abc的三邊，則a2＋b2＝c2
b．若 a、b、c是rt△abc的三邊，則a2＋b2＝c2
c．若 a、b、c是rt△abc的三邊，，則a2＋b2＝c2
d．若 a、b、c是rt△abc的三邊，，則a2＋b2＝c2
4．如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形abc中，邊長為無理數的邊數是（ ）
a． 0b． 1 c． 2d． 3
5．把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的（ ）
a． 2倍b． 4倍c． 6倍d． 8倍
6．如圖，將一根24cm的筷子，置於底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值範圍是（ ）
a、h≤17cmb、h≥8cm c、15cm≤h≤16cm d、7cm≤h≤16cm
7．如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（ ）
a. 4 b. 6 c. 16 d. 55
8．如圖，將乙個邊長分別為4、8的長方形紙片abcd摺疊，使c 點與 a點重合，則eb的長是（ ）．
a．3 b．4 cd．5
9．如圖，每個小正方形的邊長為1，a、b、c是小正方形的頂點，
則∠abc的度數為（ ）
a．90° b．60° c．45° d．30°
10．△abc是某市在拆除違章建築後的一塊三角形空地.已知∠c=90°，ac=30公尺，ab=50公尺，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方公尺草皮元計算，那麼共需要資金（ ）.
a. 50元 b. 600元 c. 1200元 d. 1500元
二. 填空題
1．在△abc中，ab＝ac＝13，bc＝10，d是ab的中點，過點d作de⊥ac於點e，則de的長是
2．如圖，小明在a時測得某樹的影長為2m，b時又測得該樹的影長為8m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_________m.
3．如圖，△abc中，∠c = 90°，點o為△abc的三條角平分線的交點，od⊥bc，oe⊥ac，of⊥ab，點d、e、f分別是垂足，且bc = 8cm，ca = 6cm，則點o到三邊ab，ac和bc的距離分別等於 cm.
4．已知△abc的三邊長滿足，，則為三角形.
5．已知與互為相反數，則以為三邊的三角形是三角形.
6．如圖，以rt△abc的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為s1、s2、s3，且s1=4，s2=8，則ab的長為
7．如圖，長方體的底面邊長分別為1cm 和3cm，高為6cm．
①如果用一根細線從點a開始經過4個側面纏繞一圈到達點b，那麼所用細線最短需要_________cm；
②如果從點a開始經過4個側面纏繞3圈到達點b，那麼所用細線最短需要_________cm．
8．如圖，學校有一塊長方形花鋪，有極少數人為了避開拐角走「捷徑」，在花鋪內走出了一條「路」．他們僅僅少走了步路（假設2步為1公尺），卻踩傷了花草．
三. 解答題
1．如圖，四邊形abcd中，∠acb=90o ,cd⊥ab於點d，若ad=8,bd=2，求cd的長度。
2. 已知：如圖，在△abc中，cd是ab邊上的高，且cd2=ad·bd.
求證：△abc是直角三角形.
3. 如果δabc的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷δabc的形狀.
4．如圖，p是等邊三角形內的一點，鏈結pa、pb、pc，以bp為邊作，且bq=bp，鏈結cq、pq，若pa:pb:pc=3:4:5,試判斷的形狀。
5．已知：正方形abcd的邊長為1，正方形abcd的邊長為1，正方形efgh內接於abcd，ae=a,af=b,且. 求的值。
6．如圖，△abc中，ab=10,bc=9,ac=17，求△abc的面積。
7．如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥ac，∠b＝45°,
ad＝1，bc＝4，求dc的長．
8．已知中， ， ，邊上的中線，求證：
9．如圖所示，在四邊形abcd 中，∠a=60°，∠b=∠d=90°，bc=2，cd=3，
求ab的長.
10．如圖，鐵路上a，b兩點相距25km，c，d為兩村莊，da⊥ab於a，cb⊥ab於b，已知da=15km，cb=10km，現在要在鐵路ab上建乙個土特產品收購站e，使得c，d兩村到e站的距離相等，則e站應建在離a站多少km處？
11．「遠航」號、「海天」號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，「遠航」號每小時航行16海浬，「海天」號每小時航行12海浬，它們離開港口乙個半小時後相距30海浬．如果知道「遠航」號沿東北方向航行，能知道「海天」號沿哪個方向航行嗎？
12．颱風是一種自然災害，它以颱風中心為圓心在周圍數十千公尺範圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據氣象觀測，距沿海某城市a的正南方向220千公尺b處有一颱風中心，其中心最大風力為12級，每遠離颱風中心20千公尺，風力就會減弱一級，該颱風中心現正以15千公尺/時的速度沿北偏東30方向往c移動，且颱風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級，則稱為受颱風影響.
（1）該城市是否會受到這交颱風的影響？請說明理由.
（2）若會受到颱風影響，那麼颱風影響該城市持續時間有多少？
（3）該城市受到颱風影響的最大風力為幾級？
13.乙個零件的形狀如圖，按規定這個零件中∠a與∠bdc都應為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：ad=4，ab=3,bd=5，dc=12 , bc=13，這個零件符合要求嗎？
14．如圖，正方形abcd，e為bc中點，f為ab上一點，且bf=ab.
請問fe與de是否垂直?請說明。
15．如圖，有乙隻小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少公尺？（先畫出示意圖，然後再求解）
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