指數與指數函式
一、重點難點解析
1．知識結構
2．指數概念由特殊乘法運算定義，是乘法運算的發展，是人類探索化簡運算的過程中，創造並發展的數學知識；它由正整數指數開始，到負整數指數、零指數，再到分式指數(根式)，最後到實數指數．
3．指數運算的特點是強概念性及性質使用而弱計算性，所以指數的運算性質及方根表示既是重點也是難點．
4．指數函式的概念及性質是重點，指數函式的值域易被忽視而成為難點．
二、考點
1．指數運算一般結合其他知識在應用中進行考查．
2．根式及方根運算與指數函式的圖象和性質，幾乎每年高考都要涉及．
三、典型熱點考題
例1、完成下列計算：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
分析：運算時，一般將根式化為分指數，運用指數運算性質進行化簡計算，但要注意的是分指數的運算實質是方根的化簡，必須依照方根運算的要求進行，即注意根指數(分指數的分母)的奇偶性來決定結果，一般偶次方根化簡時尤須注意
解：(1) ＝－3．
(2) ＝2．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ＝27000．
點評：一般先把冪化為底數是質數的指數式，再應用同底的冪的運算法則進行計算，有「方向」性，較為方便．
例2、 化簡下列各式：
(1)；
(2)．
分析：多項式的乘法公式，本質上給出的是多項式的次數與它的因式的次數間的關係(當然也有多項式中的運算及形式的關係)，引入分指數的概念後，這種公式的本質並未改變，只不過由於指數形式的複雜，使它們指數間的倍比關係較難判斷清楚，因此就給如何應用公式分解因式並化簡帶來了困難，只要抓住多項式及根式化簡的通法、通性，這些難題不會造成困難．
解：(1)
當a>b≥0時，∴
當b≥a≥0時，∴＝0．
(2)解法一：
．解法二：
設，∴∴＝m－n－(m＋n)
＝－2n．
點評不要認為設輔助未知數只是一種可有可無的運算技巧，其實設輔助未知數是對數學問題的「層次性」的深刻認識的表現，是把複雜問題轉化為兩個或多個基本問題的重要的分析思維的具體表達．
例3、化簡下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
分析：用根式計算時，必須將根式化為同次根式才能進行乘、除、冪的計算，若式子中有重根式(根號套根號)的形式，化同次根式更難更容易出錯；如果逐層將根號處理為分指數，再用指數的運算性質運算既簡捷又方便．
解：(1)
．(2) ＝1．
(3) ＝1．
點評重根式化簡只需作1～3個題，通過具體演算達到了解方法的目的即可．
例4、求下列函式的定義域和值域：
(1)； (2)．
分析：因為一般指數函式(a>0且a≠1)的定義域是一切實數，值域是(0，＋∞)，所以複雜的與指數函式有關的定義域、值域問題，主要考慮與自變數有關的代數式的運算限制和取值範圍，就可以解出定義域；但值域問題一方面考慮指數函式的單調性，同時必須兼顧「指數函式」的值域是(0，＋∞)．
解：(1) ∴函式的定義域是[2，＋∞)
∵x∈[2，＋∞)時，x－2≥0 ∴
∵3>1，以3為底數的指數函式是增函式 ∴
∴函式的值域是[1，＋∞)．
(2)∵中x≠0 ∴函式的定義域是
∵x≠0時， ∴，而
∴函式的值域是．
例5、求下列關於x的不等式的解集．
(1)；
(2)a>0且a≠1時，．
分析：因為不等式中的變數x在指數部分，所以這類不等式(稱指數不等式)的解法是：利用指數函式的單調性，將各不等式先轉化為一般的一元一次不等式，一元二次不等式及不等式組求解，由此看來，函式的單調性是用來處理與函式有關的量大小比較的有力工具．
解：（1）∵6>1，則以6為底的指數函式是增函式∵∴
∴－2(2)∵
當a>1時，以a為底的指數函式是增函式
∴⊿＝ ∴不等式的解集為r．
當0∴ ∴a>1時不等式的解集是r，
0例6、 設(a為實數)
(1)x∈r，試討論f(x)的單調性，並且用單調性定義給出證明；
(2)當a＝0時，若函式y＝g(x)的圖象與y＝f(x)的圖象關於直線x＝1對稱．求函式y＝g(x)的解析式．
解：(1)(i)a＝0時，，任取，
∵ ∵，
函式f(x)是增函式．
(ii)a<0時，f(x)是增函式，下面給出證明：
任取， ，∵
∵，∴又∵a<0，∴∴從而得：函式f(x)是增函式．
(iii)令，
0可得：
又∵是增函式
∴存在，有：，
也就是：存在兩個實數，，但有
∴0a＝1時，∵f(x)＝3時，可得：
又∵是增函式
∴存在，有：，
也就是：存在兩個實數，，但有
∴a＝1時，f(x)在全體實數r上不是單調函式
a>1時，f(x)也不是單調函式．(請讀者自己給出證明)
(2)在函式y＝g(x)的圖象上取一點p(x，y)，點p關於直線x＝1的對稱點
從而，得：
∵函式y＝g(x)的圖象與函式y＝f(x)的圖象關於直線x＝1對稱
∴在y＝f(x)的圖象上
也就是：
從而，可得：
也就是：．
點評 ：函式f(x)不是單調函式存在，，但有．
函式是增函式 ∴，
即∴f(x)在區間(－∞，0]上是減函式．∴
∴x<－2或x>4
∴當a>1時，x值集合是．
練習:設a＞0, f (x)＝是r上的奇函式.
(1) 求a的值;
(2) 試判斷f (x )的反函式f－1 (x)的奇偶性與單調性.
指數與指數函式
1 根式 1 根式的概念 若xn a，則x叫做a的n次方根，其中n 1且n n 式子叫做根式，這裡n叫做根指數，a叫做被開方數 a的n次方根的表示 xn a 2 根式的性質 n a n n n 1 2 有理數指數冪 1 冪的有關概念 正分數指數冪 a a 0，m，n n 且n 1 負分數指數冪 a ...
指數函式習題大全
指數函式 一 選擇題 1.函式 且 對於任意的實數，都有 2.下列各式中，正確的是 填序號 3.當時函式的值域是 4.函式在上的最大值與最小值的和為3，則 a.b.2 c.4 d.5.已知，下列不等式 1 2 3 4 5 中恆成立的有 a 1個b 2個c 3個d 4個 6.函式的值域是 a b c ...
指數與指數函式複習解析
教學過程 複習預習 函式三要素，單調性，奇偶性，最值 知識講解 1 根式 1 根式的概念 2 兩個重要公式 1 2 n a 注意a必須使有意義 2 有理數指數冪 2 1 冪的有關概念 1 正分數指數冪 a a 0，m，n n 且n 1 2 負分數指數冪 a a 0，m，n n 且n 1 3 0的正分...