反比例函式與一次函式交叉綜合問題
【前言】
初中數學所涉及的函式無非也就一次函式，反比例函式以及二次函式。二次函式基本上只會考和一次函式的綜合問題，二次函式與反比例函式基本不會涉及。所以如何掌握好一次函式與反比例函式的綜合問題就成為了又一重點。
這類題目本身並不會太難，很少作為壓軸題出現，一般都是作為一道中檔次題目來考察考生對於一次函式以及反比例函式的掌握。所以在中考中面對這類問題，一定要做到避免失分。
【例1】2010，西城，一模
將直線沿軸向下平移後，得到的直線與軸交於點，與雙曲線交於點．
⑴求直線的解析式；
⑵若點的縱標為，求的值（用含有的式子表示）．
【思路分析】這種平移乙個一次函式與反比例函式交與某一點的題目非常常見，一模中有多套題都是這樣考法。題目一般不難，設元以後計算就可以了。本題先設平移後的直線，然後聯立即可。
比較簡單,看看就行.
【解析】將直線沿軸向下平移後經過x軸上點a（），
設直線ab的解析式為．
則．解得．
∴直線ab的解析式為．
圖3（2）設點的座標為，
∵直線經過點，
∴．∴．
∴點的座標為，
∵點在雙曲線上，
∴．∴．
【例2】2010，豐台，一模
如圖，一次函式的圖象與反比例函式的圖象相交於a、b兩點．
（1）求出這兩個函式的解析式；
（2）結合函式的圖象回答：當自變數x的取值範圍滿足什麼條件時，
【思路分析】第一問直接看圖寫出a，b點的座標（－6,－2）(4,3)，直接代入反比例函式中求m，建立二元一次方程組求k,b。繼而求出解析式。第二問通過影象可以直接得出結論。
本題雖然簡單，但是事實上卻有很多變化。比如不給影象，直接給出解析式求的區間，考生是否依然能反映到用影象來看區間。數形結合是初中數學當中非常重要的乙個思想，希望大家要活用這方面的意識去解題。
【解析】
解：（1）由圖象知反比例函式的圖象經過點b(4，3)，
∴． ∴m=12． －
∴反比例函式解析式為．
由圖象知一次函式的圖象經過點a(－6，－2) ， b(4，3)，
∴ 解得 －－
∴一次函式解析式為．
（2）當0【例3】2010，密雲，一模
已知：如圖，正比例函式的圖象與反比例函式的圖象交於點
（1）試確定上述正比例函式和反比例函式的表示式；
（2）根據圖象回答，在第一象限內，當取何值時，反比例函式的值大於正比例函式的值？
（3）是反比例函式圖象上的一動點，其中，過點作直線軸，交軸於點；過點作直線軸交軸於點，交直線於點．當四邊形的面積為6時，請判斷線段與的大小關係，並說明理由．
【思路分析】第一問由於給出了乙個定點，所以直接代點即可求出表示式。第二問則是利用影象去分析兩個函式的大小關係，考生需要對座標系有直觀的認識。第三問略有難度，一方面需要分析給出四邊形oadm的面積是何用意,另一方面也要去看bm,dm和圖中圖形面積有何關係.
視野放開就發現四邊形其實就是整個矩形減去兩個三角形的剩餘部分,直接求出矩形面積即可.部分同學會太在意四邊形的面積如何求解而沒能拉出來看,從而沒有想到思路,失分可惜.
【解析】
解：（1）將分別代入中，
得，，∴，．
∴反比例函式的表示式為：；
正比例函式的表示式為．
（2）觀察圖象得，在第一象限內，當時，
反比例函式的值大於正比例函式的值．
（3）．
理由：∵，
∴，即．
∵，∴．
∴．（很巧妙的利用了和的關係求出矩形面積）
∴．∴．
∴【例4】2010，石景山，一模
已知：與兩個函式圖象交點為，且，是關於的一元二次方程的兩個不等實根，其中為非負整數．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）如果與函式和交於兩點（點在點的左側），線段，求的值．
【思路分析】本題看似有乙個一元二次方程，但是本質上依然是正反比例函式交點的問題。第一問直接用判別式求出k的範圍，加上非負整數這一條件得出k的具體取值。代入方程即可求出m，n，繼而求得解析式。
注意題中已經給定m【解析】（1）
∵為非負整數，∴
∵為一元二次方程
∴ (2)把代入方程得, 解得∵∴
把代入與
可得 (3)把代入與
可得，，由，可得
解得，經檢驗為方程的根。
∴【例5】2010，海淀，一模
已知：如圖，一次函式與反比例函式的圖象在第一象限的交點為．
（1）求與的值；
（2）設一次函式的影象與軸交於點，連線，求的度數．
【思路分析】如果一道題單純考正反比例函式是不會太難的，所以在中考中經常會綜合一些其他方面的知識點。比如本題求角度就牽扯到了勾股定理和特定角的三角函式方面，需要考生思維轉換要迅速。第一問比較簡單，不說了。
第二問先求出a,b具體點以後本題就變化成了一道三角形內線段角的計算問題，利用勾股定理發現ob=oa,從而∠bao=∠abo,然後求出∠bao即可。
解：（1）∵點在雙曲線上，
∴ 又∵在直線上，
∴ .（2）過點a作am⊥x軸於點m.
∵ 直線與軸交於點，
∴ . 解得 .
∴ 點的座標為.
∴ .∵點的座標為，
∴.在rt△中，,
∴.∴.－
由勾股定理，得 .∴∴.
∴.－【總結】中考中有關一次函式與反比例函式的問題一般都是成對出現的。無非也就一下這麼幾個考點：
1、給交點求解析式；2，y的比較，3，夾雜進其他幾何問題。除了注意計算方面的問題以外，還需要考生對數形結合，分類討論的思想掌握熟練。例如y的比較這種問題，純用代數方式通常需要去解乙個一元二次不等式，但是如果用影象去做就會比較簡單了。
總體來說這類問題不難，做好細節就可以取得全分。
第二部分發散思考
【思考1】2009，北京
如圖，a、b兩點在函式的圖象上.
（1）求的值及直線ab的解析式；
（2）如果乙個點的橫、縱座標均為整數，那麼我們稱這個點是格點.請直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的個數。
【思路分析】由於已經給出了點，第一問沒有難度。第二問在於要分析有哪些格點在雙曲線的邊界上，哪些格點在其中。保險起見直接用1－6的整數挨個去試，由於數量較少，所以可以很明顯看出。
【思考2】2009，宣武，一模
如圖，一次函式的圖象與反比例函式的圖象交於兩點，直線分別交軸、軸於兩點．
（1）求上述反比例函式和一次函式的解析式；
（2）求的值．
【思路分析】第一問一樣是用代點以及列二元一次方程組去求解析式。第二問看到比例關係，考生需要第一時間想到是否可以用相似三角形去分析。但是圖中並未直接給出可能的三角形，所以需要從a引一條垂線來構成一對相似三角形，從而求解。
【思考3】2009，崇文，一模
已知：關於x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有兩個不相等實數根（k<0）．
（）用含k的式子表示方程的兩實數根；
（）設方程的兩實數根分別是，（其中），若一次函式y=(3k－1)x+b與反比例函式y =的影象都經過點（x1，kx2），求一次函式與反比例函式的解析式．
【思路分析】本題是一道多種函式交叉的典型例題，一方面要解方程，另一方面還要求函式解析式。第一問求根，直接求根公式去做。第二問通過代點可以建立乙個比較繁瑣的二元一次方程組，認真計算就可以。
【思考4】2009，東城，一模
如圖，反比例函式的圖象過矩形oabc的頂點b，oa、0c分別在x軸、y軸的正半軸上，oa：0c=2：1．
（1）設矩形oabc的對角線交於點e，求出e點的座標；
（2）若直線平分矩形oabc面積，求的值
【思路分析】本題看似麻煩，夾雜了一次函式與反比例函式以及圖形問題。但是實際上畫出圖，通過比例可以很輕易發現b點的橫縱座標關係，巧妙設點就可以輕鬆求解。第二問更不是難題，平分面積意味著一定過b點，代入即可。
第三部分思考題解析
【思考1解析】
（1）由圖象可知，函式（）的圖象經過點，
可得．設直線的解析式為．
∵，兩點在函式的圖象上，
∴ 解得
∴直線的解析式為．
（2）圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的個數是 3 ．
【思考2解析】
（1）把，代入，得：．
反比例函式的解析式為．
把，代入得
把，；，分別代入
得第16題答圖）
解得，一次函式的解析式為．
（2）過點作軸於點．
點的縱座標為1，．
由一次函式的解析式為得點的座標為，
．在和中，，，
．．【思考3解析】
解：（） kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是關於x的一元二次方程．
∴ 由求根公式，得
或 （），∴．
而，∴，．
由題意，有
解之，得．
∴一次函式的解析式為，反比例函式的解析式為．
【思考4解析】
（１）由題意，設b，則
∵b在第一象限，
b(４,２)
∴矩形oabc對角線的交點ｅ為
（２）∵直線平分矩形oabc必過點
∴1=2x2+m
m=－3
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