小結與思考
新沂市第四中學張世濤
一、教學目標：
1、梳理全章知識結構，使學生系統地把握全章知識。
2、複習整式乘法、乘法公式和因式分解的內容，能熟練地進行基本運算或變形。
3、通過對主要知識點回顧，對易錯、易混點分析，進一步提高學生的知識技能。
4、通過探索、合作、交流活動，培養學生團結、協作精神。
5、通過做一做，使學生感受到整式乘法與因式分解具有相同的幾何背景，提高對兩者關係的認識高度，從而培養學生「兩分法」看世界的觀點，使學生初步感受矛盾對立統一的辯證思想。
6、在教學過程中和閱讀材料裡，滲透模擬、轉化等數學思想以提高學生數學素養。
二、重難點：
1、能準確理解整式乘法和因式分解的關係，能準確規範地進行基本的整式乘法運算，能準確規範地用提公因式法、公式法分解因式。
2、通過操作理解整式乘法與因式分解的幾何背景，感受數、形結合思想，進而抽象到用「兩分法」看世界。
3、理解整式變形中蘊含的數學思想、方法，培養初步推理能力。
說明本課時是本章的小結與複習，重在對全章內容重新梳理，對學生易錯、易混點要多做提醒，教學中要抓住本章的靈魂，整式乘法與因式分解的關係——互為逆過程這一中心來設計。在對比中讓學生理解它們的區別，在動手操作時理解它們的關係，還要注意滲透模擬、轉化等數學思想。要關注考一考中的學生掌握情況，以利於採取補救措施，本課時內容較多，在時間安排上要根據學生情況作出靈活調整。
三、教具、學具
矩形、正方形紙板若干塊，有條件的用實物投影儀或多**演示。
四、教學過程
(一)設定情境
情境1 你能說出(－2)2005+(－2)2006的結果嗎？
說明：學生討論、交流後回答，注意學生可能採取的不同的策略。對學生思維**現的創造性火花予以鼓勵，本設計旨在讓學生體會因式分解合理性、實用性。
思考1、在解題過程中你用了什麼方法？
2、這種方法的要點是什麼？在使用這種方法時，要注意哪些問題？建議教學時，及時複習公因式如何確定等要點，可以自己配套選取相應內容的練習。
情境2 小明、小麗、小亮三人做遊戲，小明、小亮一人手裡拿一塊正方形紙片。小明說：我這塊紙片邊長比小亮的大2cm，小亮說：
我這塊面積比小明的小20cm2，現在，讓小麗猜他們兩人手中的正方形紙片邊長各是多少？
你能幫助你小麗解決這個問題嗎？
說明：讓學生討論、交流，確定解決策略，建立數學模型後得出方程(x+2)2－x2=20，可能不困難，要重點關注下面的變形，有的用完全平方公式展開後合併、化簡的解；有的是用因式分解變形，教學時要鼓勵學生用不同的方法以達到複習目的。
思考：1、剛才的解題過程中，用了哪些方法？引出乘法公式和因式分解。
2、你能說說整式乘法和因式分解的關係嗎？
3、本章的主要內容有哪些？從而引出本章的知識結構。
情境3 提問：本章學了哪些主要內容？
小組交流、討論、口答，老師補充、規範。
思考：1、你能舉乙個單項式乘多項式的例子嗎？
2、你能舉乙個多項式乘多項式的例子嗎？
3、你能舉乙個乘法公式的例子嗎？
然後讓學生把上面幾個例子倒過來看，是什麼？用什麼方法？引出因式分解與整式乘法的關係。
(二)知識回顧
說明：小組討論、交流回答，教師歸納整理出本章知識結構圖，有條件的盡量用多**演示，這樣能更好反映出本章各知識點之間的聯絡，更直觀地揭示整式乘法與因式分解的關係。
注意：圖中藍色方框中單項式乘單項式與因式分解不是互逆關係，準確地說：有多項式參與的整式乘法與因式分解是可逆的。
(三)例題討論
例1 下列變形中哪些變形是因式分解，哪些是整式乘法？
(1)8a2b3c=2a2b·2b3·2c2)3a2+6a=3a(a+2)
(3)x2－=(x+)(x－)
(4)x2－4+3x=(x+2)(x－2)+3x
(5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)
(6)(2a+5b)(2a－5b)=4a2－25b2
說明：此練習旨在複習學生對因式分解與整式乘法的認識，強調因式分解必須是左邊是多項式，右邊整體是積。
解：（略）
例2 下列變形中，因式分解對不對？為什麼？
(1)x2y－xy2=xy(x－y)
(2)a3－2ab+ab2=a(a－b)2=a(a2－2ab+b2)
(3)62ab－4ab2+2ab=2ab(3a－2b)
(4)4a2－100=(2a+10)(2a－10)
(5)a2－b2=(a－b)2
說明：此例旨在提醒學生常出現的錯誤，1、剩下的1漏寫；2、沒有先提公因式分解不完全；3、平方差與差平方相混，尤其是(2)中是學生常見錯誤型別，原因是學生對整式乘法先入為主，而對因式分解的本質沒有完全理解，形成心理學上的「倒攝抑制」效應，應提醒學生注意。
解：（略）
例3 因式分解(x+a)2－(x－a)2
說明：讓學生先做，小組交流、總結，以達到複習公式的目的。思考：1、你分解的思路是什麼？
2、其中用到哪兩個公式？
3、你能把這兩個公式特徵說出來嗎？
說明：此例旨在複習完全平方公式展開和因式分解的平方差公式，學生敘述時可能說不清楚，教師要規範說法，隨時說明每步變形的依據，培養學生以理馭算的能力。
解：（略）
例4 分解因式
(1)x(x－y)+y(y－x2)16a2b－16a3－4ab2
解： (1)x(x－y)+y(y－x)
=x(x－y)－y(x－y)→整理、看清了公因式
=(x－y)(x－y) →提公因式
=(x－y)2規範
(2)16a2b－16a3－4ab2
=4a(4ab－4a2－b2) →整理
=－4a(4a2－4ab+b2)→提公因式
=－4a(2a－b)2 →用公式
說明：板書出規範解題格式，提醒學生因式分解時的步驟，一提(提公因式提完)，二套(準確用公式)，三查(養成檢查習慣)，尤其是最後一步，檢查是否還可再分下去。
例5 計算
(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1)誰算得快。
說明：此練習旨在複習乘法公式——「平方差」，要求學生用轉化方法，使之轉化為符合平方差公式的形式，還意在提醒學生整式乘法與因式分解區別，不要相混。
解：（略）
思考：1、此題是整式乘法還是因式分解？
2、你能為同位出類似的一道題嗎？
教師要關注學生的思維變化過程有典型的可以投影簡評，鼓勵以激發學生興趣。
(四)做一做：
用邊長分別為a、b的正方形紙若干和邊長為a、b的長方形紙片若干，你能拼成長方形嗎？
學生可能拼出以上圖形，教師巡視對拼圖有困難的小組提供適當的幫助。
投影出上圖：
思考：1、兩矩形長寬分別是什麼？
2、由計算面積能得出什麼結論？
3、把過程倒過來，你發現了什麼？
說明：通過拼圖，計算面積，先得出多項式乘多項式的結果，然後啟發學生回頭看，就成了多項式的因式分解了，體會兩者聯絡，使學生感受它們具有相同的幾何背景，這裡要體現新課標理念，讓學生「做」數學。
要給學生較充足的時間，讓學生充分動手，合作交流，以培養學生團結協作的精神。
建議教學時針對學生特點，不要作統一要求，對拼出較多圖形的小組予以表揚，激發其對數學的思趣。
(五)小結：
1、整式乘法與因式分解的關係。
2、因式分解的一般步驟：一提，二套，三查。
3、本章有哪些容易混淆，出錯的地方。
說明：小結時，可先讓學生回答，教師補充、歸納。
(六)考一考：
一、填空
(1)(2x＋1)(－2x＋1
(2)若x2＋mx＋1是乙個完全平方式，則m
(3)(－x－y)2
(4)a＋b=－3，ab=2，則a2＋b2= (a－b)2=
(5)單項式6a3b與9a2b3c的公因式為
分解因式
(6)x(x－y)＋y(y－x
(7)9x2－25y2
(8)3x(a－b)－6y(b－a
(9)(m－n)2－m(m－n)2－n(n－m)2
(10)4ab2－4a2b+b3
課堂練習
1、計算
(1)5a2b·(－2ab3) (2)4x2y(3xy2z－7xy)
(3)(a＋9)(a＋14)(5－2x)(2x＋5)
(5)(5－2x)(2x－56)(a＋b＋c)2
2、分解因式
(1)3ax2－3ay22)2xy2－3x2y＋xy
(3)(a＋b)2－a24)49(a－b)2＋6(a＋b)2
(5)x4y4－8x2y2＋166)16－24(x－y)＋9(x－y)2
3、選做
(1)若x2－4x＋y2－10y＋29=0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值
(2)①兩個連續整數的平方差是個什麼數？為什麼？②兩個連續偶數的平方差呢？③兩個連續奇數平方差呢？
課內作業：複習題第8題
選做探索研究18
課外：複習題14、15，探索19
選作如圖：用兩個邊長為a、b、c的直角三角形拼成乙個新的圖形，試用不同的方法計算這個圖形的面積，你能發現什麼？
說明：讓學生製作紙片拼圖，可給予適當提示，鼓勵有興趣的同學去做，以體現不同的人在數學上有不同的發展這一理念。
閱讀·欣賞·探索
數學是奇妙的、有趣的，你知道因式分解還可以這樣做嗎？
1、分解因式：x2+4x+3
x2+4x+3
=x2+4x+4－1怎樣變形的？
=(x+2)2－1能用什麼公式？
=[(x+2)+1][(x+2)－1] →平方差
=(x+3)(x+1)
對於此類二次三項式，可以先把常數項拆成兩項在前面配出三項正好符合完全平方式，後面恰好是乙個完全平方數，然後再用平方差公式分解。
這種方法叫配方法，這是很重要的一種數學方法，以後還能用到。
看完上面，你有何收穫？
請你嘗試用剛才的方法分解因式。
(1)x2+2x－3 (2)x2+6x+8 (3)x2－4x+3
(4)x2－4x－5 (5)x2－6x－7 (6)x2－x－2
2、做一做：先觀察下面整式乘法過程
(x+1)(x+3)=x(x+3)+1×(x+3)=x2+3x+x+3=x2+4x+3→這是什麼運算？
從面積到乘法公式小結與思考
教學目標 課標要求 1 會進行簡單的整式乘法運算 其中的多項式相乘僅限於一次式相乘 2 會推導乘法公式，了解公式的幾何背景，並能進行簡單計算 3 會用平方差公式 完全平方公式和提公因式法 直接用公式不超過2次 進行因式分解 指數是正整數 教學過程 一 設定情境 1 如圖，用若干塊長方形紙片和正方形紙...
乘法公式小結
學習目標 掌握整式乘法的平方差公式 完全平方公式和 x a x b x2 a b x ab公式，通過公式運用，培養學生運用公式的計算能力.學習重點 重點是掌握公式 a b a b a2 b2,a b 2 a2 2ab b2.學習難點 乘法公式的應用 學習過程 一 知識點 知識點1 平方差公式 a b...
《第九章從面積到乘法公式》小結與思考教學案
6xy x2y3z 12xy 2x 3y 4z2x 3y 3x 2y x 5 x 7 6x 7y 6x 7y 2x 4y 2m n 5 m n 53a 5b 2 二 新知探索 例題講解 例1 已知求的值。分析 本題在靈活運用乘法公式的基礎上，結合整體代入思想可解。例2 先化簡，後求值 2x2 x2 ...