【目標導航】
掌握矩形、菱形、正方形的相關性質和判別方法，進行證明和計算，培養推理能力，及靈活運用知識解決綜合性問題的能力．
【要點梳理】
矩形、菱形、正方形性質：
矩形、菱形、正方形的判定方法：
重要定理：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
幾何圖形：
幾何語言：
例1 已知：如圖，□abcd中， ac、bd相交於o，p是□abcd外一點，且∠apc=∠bpd=90°．求證：□abcd是矩形．
答案：鏈結op，則op是兩個rt△斜邊上的中線，易得ac＝bd＝2op．
例2已知：如圖，在□abcd 中，e、f分別為邊ab、cd的中點，bd是對角線，ag∥db交cb的延長線於g．
（1）求證：△ade≌△cbf；
（2）若四邊形 bedf是菱形，則四邊形agbd是什麼特殊四邊形？並證明你的結論．
答案：（1）證明提示：△ade≌△cbf（sas）（判定方法不唯一）；（2）矩形，提示：由ed＝ea＝eb得∠adb＝90°．
例3有一矩形紙片abcd，ab=9cm，bc=12cm，將紙片沿ef摺疊，使b與d重合.求摺痕ef的長.
答案：鏈結bd，則ef垂直平分bd
∴em＝dm·tan∠adb＝bd·tan∠adb＝·＝
易得ef＝2em＝．
例4 ．如圖，四邊形abcd是菱形，ce⊥ab，交ab的延長線於e，cf⊥ad，交ad的延長線於f．請你猜想ce與cf的大小有什麼關係，並證明你的猜想．
答案：相等；證明提示：鏈結ac，由於四邊形abcd是菱形，∴ac平分∠ eaf．
例5如圖，e、f分別是正方形abcd的邊cd、ad上的點，且ce=df，ae、bf相交於點d，下列結論①ae=bf；②ae⊥bf；③ ao=oe； ④s△aob=s四邊形deof中，錯誤的有( ) a．1個 b.2個 c.3個d.
4個答案：a；
提示：③錯．
例6如圖，e、f分別在正方形abcd的邊bc、cd上，
（1）若∠eaf=45，求證：ef=be+df．
（2）若正方形abcd的邊長為1，△cef的周長為2，求 eaf的大小．
答案：將△adf繞點a順時針旋轉90°至△abf′處，再證明△aef′≌△aef（（1）sas；（2）sss）如上右圖．第（2）中∠eaf＝45°．
【課後練習】
1．矩形的對角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）
a．2對 b．4對
c．6對 d．8對
答案：b．
2．如圖，在菱形abcd中，∠bad=80°，ab的垂直平分線交對角線ac於點f，e為垂足，鏈結df，則∠cdf等於
a．60° b．65° c．70° d．80°
答案：a
3．如圖，在菱形abcd中，e，f分別是ab，ac的中點，如果ef=2，那麼菱形abcd的周長是 （ ）
a．4 b．8 c．12 d．16
答案：b
4．如圖，在矩形中，對角線、相交於點，過的直線分別交、於點、.若圖中陰影部分的面積為6，則矩形的面積為（ ）
a. 12 b. 18 c. 24 d. 30
答案：c
5．如圖，在菱形abcd中，對角線ac、bd相交於點o，e為bc的中點，則下列式子中一定成立的是（ ）
a．ac=2oe b．bc=2oe
c．ad=oe d．ob=oe
答案：b
6．正方形abcd中，e在bc上，be=2，ce=1，p在bd上，則pe和pc的長度之和最小為
．答案：．
7．如圖，將一塊邊長為12的正方形紙片abcd的頂點a摺疊至dc邊上的點e，使de=5， 摺痕為pq，則pq的長為_______．
答案：13．
解法提示：先證明pq＝ae．
8．如圖，在平面直角座標系中，四邊形是正方形，點b的座標為（4，4），直線恰好把正方形的面積分成相等的兩部分，則
答案：2
提示：直線y＝mx－2過正方形abco的中心（2，2）．
9．如圖，e是邊長為1的正方形abcd的對角線bd上一點，且be=bc，p是ce上任意一點，pq⊥bc於q，pr⊥be於r，pq+pr的值是（ ）
a． b．
c． d．
答案：a
10．如圖，在矩形abcd中，ef∥ab，gh∥bc，ef、gh的交點p在bd上，圖中面積相等的四邊形有( )
a．3對 b.4對 c.5對 d.6對
答案：c．
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
平行四邊形與特殊的平行四邊形
平行四邊形的性質與判定 一 總結平行四邊形的性質與判定原理 問題1 我們學習平行四邊形的性質是從哪幾個方面來研究的？從 邊 角 線 三個方面，其中 線 指的是對角線。問題2 判定乙個四邊形是平行四邊形必須有幾個條件？必須具備兩個條件 注意判定原理5 對角線互相平分 也是兩個等量。二 總結與平行四邊形...
特殊平行四邊形
矩形矩形的性質 判斷矩形的方法 12 3各句判定矩形的說法是否正確？1 對角線相等的四邊形是矩形 2 對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 3 有乙個角是直角的四邊形是矩形 4 有三個角都相等的四邊形是矩形 5 有三個角是直角的四邊形是矩形 6 四個角都相等的四邊形是矩形 7 對角線相等，且有乙個角是...