第八章平面向量
知識網路
1、向量有關概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什麼？（向量可以平移）。
（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；
（3）單位向量：長度為乙個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；
（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；
（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！
（因為有)；④三點共線共線；
（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
2、向量的表示方法：
（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在後；（2）符號表示法：用乙個小寫的英文本母來表示，如，，等；（3）座標表示法：
在平面內建立直角座標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的座標，＝叫做向量的座標表示。如果向量的起點在原點，那麼向量的座標與向量的終點座標相同。
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數、，使a=e1＋e2。
4、實數與向量的積：實數與向量的積是乙個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當》0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，注意：≠0。
5、平面向量的數量積：
（1）兩個向量的夾角：對於非零向量，，作，
稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。
（2）平面向量的數量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即＝。
規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是乙個實數，不再是乙個向量。
（3）在上的投影為，它是乙個實數，但不一定大於0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：）
（4）的幾何意義：數量積等於的模與在上的投影的積。
（5）向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
①；②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；當為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；
③非零向量，夾角的計算公式：；④。
6、向量的運算：
（1）幾何運算：
①向量加法：利用「平行四邊形法則」進行，但「平行四邊形法則」只適用於不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用「三角形法則」：設，那麼向量叫做與的和，即；
②向量的減法：用「三角形法則」：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。
（2）座標運算：設，則：
①向量的加減法運算：，。
②實數與向量的積：。
③若，則，即乙個向量的座標等於表示這個向量的有向線段的終點座標減去起點座標。
④平面向量數量積：。
⑤向量的模：。
例：已知均為單位向量，它們的夾角為，那麼＝_____（答：）；
⑥兩點間的距離：若，則。
7、向量的運算律：（1）交換律：，，；(2)結合律：，；（3）分配律：，。
提醒：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對於乙個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以乙個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以乙個向量，但不能兩邊同除以乙個向量，即兩邊不能約去乙個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的「乘法」不滿足結合律，即，為什麼？
8、向量平行(共線)的充要條件：＝0。
9、向量垂直的充要條件： .特別地。
10.線段的定比分點：
（1）定比分點的概念：設點p是直線pp上異於p、p的任意一點，若存在乙個實數 ，使，則叫做點p分有向線段所成的比，p點叫做有向線段的以定比為的定比分點；
（2）的符號與分點p的位置之間的關係：當p點**段 pp上時》0；當p點**段 pp的延長線上時<－1；當p點**段pp的延長線上時；若點p分有向線段所成的比為，則點p分有向線段所成的比為。
（3）線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當＝1時，就得到線段pp的中點公式。在使用定比分點的座標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的座標。
在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，並根據這些點確定對應的定比。
11.平移公式：如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函式按向量平移與平常「左加右減」有何聯絡？（2）向量平移具有座標不變性.
第1講向量的概念與線性運算
★ 知識梳理 ★
1．平面向量的有關概念：
（1）向量的定義：既有__大小又有方向__的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向線段來表示向量.有向線段的_長度_表示向量的大小，用___箭頭所指的方向___表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.
特別提醒：
1) 模：向量的長度叫向量的模，記作|a|或||.
2) 零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向不確定.
3) 單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.
4) 共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規定零向量與任何向量共線.
5) 相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2．向量的線性運算
1.向量的加法：
（1）定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
如圖，已知向量a，b，在平面內任取一點，作a， b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即 a+b
特殊情況：
對於零向量與任一向量a，有 a a a
（2）法則：____三角形法則平行四邊形法則______
（3）運算律：____ a+b=b+aa+b）+c=a+（b+c）._______
2.向量的減法：
（1）定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.
已知向量a、b，求作向量
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
減法的三角形法則作法：在平面內取一點o，
作= a, = b, 則= a b
即a b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量
注意：1) 表示a b強調：差向量「箭頭」指向被減數
2) 用「相反向量」定義法作差向量，a b = a +(-b) (b)
顯然，此法作圖較繁，但最後作圖可統一
a∥b∥ca b = a + (b) a b
3.實數與向量的積：
（1）定義：實數λ與向量a的積是乙個向量，記作λa，規定：|λa|=|λ||a|.
當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa與a平行.
（2）運算律：λ（μa）=（λμ）a， （λ+μ）a=λa+μa， λ（a+b）=λa+λb.
特別提醒：
1) 向量的加、減及其與實數的積的結果仍是向量。
2) 重要定理：
向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有乙個實數λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.
重難點突破
1.重點：理解向量及與向量相關的概念，掌握向量的幾何表示，掌握向量的加法與減法，會正確運用三角形法則、平行四邊形法則．
2.難點：掌握向量加法的交換律、結合律，並會用它們進行向量化簡與計算．
3.重難點：.
問題1: 相等向量與平行向量的區別
答案：向量平行是向量相等的必要條件。
問題2:向量平行（共線）與直線平行（共線）有區別
答案：直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。
問題3：對於兩個向量平行的充要條件：
a∥ba=λb，只有b≠0才是正確的.而當b=0時，a∥b是a=λb的必要不充分條件.
問題4；向量與有向線段的區別：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；
（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，儘管大小和方向相同，也是不同的有向線段
熱點考點題型探析
考點一： 向量及與向量相關的基本概念
題型1. 概念判析
[例1]判斷下列各命題是否正確
(1)零向量沒有方向2)若
(3)單位向量都相等4) 向量就是有向線段
(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同6)若，，則；
(7)若，，則8)若四邊形abcd是平行四邊形,則
(9)的充要條件是且；
[解題思路]：正確理解向量的有關概念，以概念為判斷依據，或通過舉反例說明。
解析：解：(1) 不正確，零向量方向任意, (2) 不正確，說明模相等,還有方向 (3) 不正確，單位向量的模為1,方向很多 (4) 不正確，有向線段是向量的一種表示形式 (5)正確， （6）正確，向量相等有傳遞性 （7）不正確，因若，則不共線的向量也有，。
(8) 不正確, 如圖 （9）不正確，當，且方向相反時，即使，也不能得到；
第五章平面向量 平面向量小結
本資料 於 七彩教育網 課題 平面向量小結 一 複習目標 1 進一步熟練有關向量的運算和證明 能運用解三角形的知識解決有關應用問題，2 滲透數學建模的思想，切實培養分析和解決問題的能力 三 課前預習 1 正方形對角線交點為，座標原點不在正方形內部，且，則 2 下列條件中，是銳角三角形的是 3 已知乙...
平面向量 一
數學輔導2017.4.15 專題 平面向量複習課 一 考向一 平面向量有關概念 例1.給出下列命題 向量的長度與向量的長度相等 向量與平行，則與的方向相同或相反 兩個有共同起點且相等的向量，其中點必相同 向量與向量是共線向量，則點a b c d必在同一直線上.其中不正確的為 變式1.給出下列命題 兩...
平面向量複習與小結
教學目標 1 進一步了解平面向量的基本定理及其幾何意義，掌握平面向量的分解及其座標表示，掌握平面向量的座標運算，理解向量共線的座標表示 2 進一步理解平面向量數量積的概念及其幾何意義，掌握平面向量數量積的座標表示，並會簡單應用 3 進一步掌握將物理問題 實際問題轉化為數學問題 教學重點 1 向量共線...