板塊一任意四邊形模型
任意四邊形中的比例關係(「蝴蝶定理」)：
①或者②
蝴蝶定理為我們提供了解決不規則四邊形的面積問題的乙個途徑．通過構造模型，一方面可以使不規則四邊形的面積關係與四邊形內的三角形相聯絡；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關係．
【例 1】 (小數報競賽活動試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形abcd，被對角線ac、bd分成四個部分，△aob面積為1平方千公尺，△boc面積為2平方千公尺，△cod的面積為3平方千公尺，公園由陸地面積是6．92平方千公尺和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千公尺？
【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：⑴三角形的面積；⑵？
【例 2】 四邊形的對角線與交於點(如圖所示)．如果三角形的面積等於三角形的面積的，且，，那麼的長度是的長度的_________倍．
【例 3】 如圖，平行四邊形的對角線交於點，、、、的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求的面積；⑵求的面積．
【例 4】 圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃．那麼最大的乙個三角形的面積是多少公頃？
【例 5】 (2023年清華附中入學測試題)如圖相鄰兩個格點間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為 ．
【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1，求三角形的面積．
【例 6】 (2023年人大附中考題)如圖，邊長為1的正方形中，，，求三角形的面積．
【例 7】 如圖，長方形中，，，三角形的面積為平方厘公尺，求長方形的面積．
【例 8】 如圖，已知正方形的邊長為10厘公尺，為中點，為中點，為中點，求三角形的面積．
【例 9】 如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交於,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 ．
【例 10】 (2023年迎春杯初賽六年級)正六邊形的面積是2009平方厘公尺，分別是正六邊形各邊的中點；那麼圖中陰影六邊形的面積是平方厘公尺．
板塊二梯形模型的應用
梯形中比例關係(「梯形蝴蝶定理」)：①②；
③的對應份數為．
梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關係互相轉換的渠道，通過構造模型，直接應用結論，往往在題目中有事半功倍的效果．(具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進行說明)
【例 11】 如圖，，，求梯形的面積．
【鞏固】(2023年南京智力數學冬令營)如下圖，梯形的平行於，對角線，交於，已知與的面積分別為平方厘公尺與平方厘公尺，那麼梯形的面積是________平方厘公尺．
【例 12】 梯形的對角線與交於點，已知梯形上底為2，且三角形的面積等於三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比．
【例 13】 (第十屆華盃賽)如下圖，四邊形中，對角線和交於點，已知，並且，那麼的長是多少？
【例 14】 梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問三角形的面積是多少？
【鞏固】如圖，梯形中，、的面積分別為和，求梯形的面積．
【例 15】 如下圖，乙個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積．
【鞏固】(人大附中入學測試題)如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為________．
【例 16】 如圖，正方形面積為平方厘公尺，是邊上的中點．求圖中陰影部分的面積．
【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點，與相交於點，三角形的面積為1平方厘公尺，那麼正方形面積是平方厘公尺．
【例 17】 如圖面積為平方厘公尺的正方形中，是邊上的三等分點，求陰影部分的面積．
【例 18】 如圖，在長方形中，厘公尺，厘公尺，，求陰影部分的面積．
【例 19】 (2023年」奧數網杯」六年級試題)已知是平行四邊形，，三角形的面積為6平方厘公尺．則陰影部分的面積是平方厘公尺．
【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘公尺)，陰影部分的面積是平方厘公尺．
【鞏固】(2023年三帆中學考題)右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘公尺)，陰影部分的面積是平方厘公尺．
【例 20】 如圖所示，、將長方形分成4塊，的面積是5平方厘公尺，的面積是10平方厘公尺．問：四邊形的面積是多少平方厘公尺？
【鞏固】如圖所示，、將長方形分成4塊，的面積是4平方厘公尺，的面積是6平方厘公尺．問：四邊形的面積是多少平方厘公尺？
【鞏固】(98迎春杯初賽)如圖，長方形中，陰影部分是直角三角形且面積為，的長是， 的長是.那麼四邊形的面積是多少？
【例 21】 (2023年」迎春杯」高年級初賽)如圖，長方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘公尺，那麼餘下的四邊形的面積為平方厘公尺．
【例 22】 (98迎春杯初賽)如圖，長方形中，是直角三角形且面積為54，的長是16，的長是9．那麼四邊形的面積是
【例 23】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交於點．已知正方形的面積48，，則的面積是多少？
【例 24】 如圖所示，是梯形，面積是，的面積是9，的面積是27．那麼陰影面積是多少？
【例 25】 如圖，正六邊形面積為，那麼陰影部分面積為多少？
【例 26】 如圖，已知是中點，是的中點，是的中點．三角形由①～⑥這6部分組成，其中②比⑤多6平方厘公尺．那麼三角形的面積是多少平方厘公尺？
【例 27】 如圖，在乙個邊長為6的正方形中，放入乙個邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現在分別連線大正方形的乙個頂點與小正方形的兩個頂點，形成了圖中的陰影圖形，那麼陰影部分的面積為
【例 28】 如圖，在正方形中，、分別在與上，且，，連線、，相交於點，過作、得到兩個正方形和，設正方形的面積為，正方形的面積為，則
【例 29】 如下圖，在梯形中，與平行，且，點、分別是和的中點，已知陰影四邊形的面積是54平方厘公尺，則梯形的面積是平方厘公尺．
【例 30】 (2023年「迎春杯」高年級組決賽)下圖中，四邊形都是邊長為1的正方形，、、、分別是，，，的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數，那麼，的值等於 ．
板塊三相似三角形模型
(一)金字塔模型二) 沙漏模型
①；②．
所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關的常用的性質及定理如下：
⑴相似三角形的一切對應線段的長度成比例，並且這個比例等於它們的相似比；
⑵相似三角形的面積比等於它們相似比的平方；
⑶連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．
三角形中位線定理：三角形的中位線長等於它所對應的底邊長的一半．
相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關係相互轉化的工具．
在小學奧數里，出現最多的情況是因為兩條平行線而出現的相似三角形．
【例 31】 如圖，已知在平行四邊形中，，，，那麼的長度是多少？
【例 32】 如圖，測量小玻璃管口徑的量具，的長為厘公尺，被分為等份．如果小玻璃管口正好對著量具上等份處(平行)，那麼小玻璃管口徑是多大？
【例 33】 如圖，平行，若，那麼________．
【例 34】 如圖，中，，，互相平行，，
則【鞏固】如圖，平行，且，，，求的長．
【鞏固】如圖，中，，，，，互相平行，，
則【例 35】 已知中，平行，若，且比大，求．
【例 36】 如圖：平行，，，求的長度
【鞏固】如圖，已知平行，，那麼________．
【例 37】 如圖，中，，，與平行，的面積是1平方厘公尺．那麼的面積是平方厘公尺．
【例 38】 在圖中的正方形中，，，分別是所在邊的中點，的面積是面積的幾倍？
【例 39】 如圖，線段與垂直，已知，，那麼圖中陰影部分面積是多少？
【例 40】 (年第二屆兩岸四地」華羅庚金盃」少年數學精英邀請賽)如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，，則四邊形的面積________．
【例 41】 已知三角形的面積為，，是的中點，且∥，交於，求陰影部分的面積．
【例 42】 已知正方形，過的直線分別交、的延長線於點、，且，，求正方形的邊長．
【例 43】 如圖，三角形是一塊銳角三角形餘料，邊公釐，高公釐，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其餘兩個頂點分別在、上，這個正方形零件的邊長是多少？
【鞏固】如圖，在中，有長方形，、在上，、分別在、上，是邊的高，交於，，厘公尺，厘公尺，求長方形的長和寬．
【例 44】 圖中是邊長為的正方形，從到正方形頂點、連成乙個三角形，已知這個三角形在上截得的長度為，那麼三角形的面積是多少？
【例 45】 如圖，將乙個邊長為的正方形兩邊長分別延長和，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？
【例 46】 (2023年101中學考題)圖中的大小正方形的邊長均為整數(厘公尺)，它們的面積之和等於52平方厘公尺，則陰影部分的面積是 ．
【例 47】 如圖，是矩形一條對角線的中點，圖中已經標出兩個三角形的面積為和，那麼陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？
【例 48】 已知長方形的面積為厘公尺，是的中點，、是邊上的三等分點，求陰影的面積是多少厘公尺？
【例 49】 是平行四邊形，面積為72平方厘公尺，、分別為、的中點，則圖中陰影部分的面積為平方厘公尺．
【例 50】 如圖，三角形的面積是8平方厘公尺，長方形的長是6厘公尺，寬是4厘公尺，是的中點，則三角形的面積是平方厘公尺．
【例 51】 如圖，長方形中，為的中點，與、分別交於、，垂直於，交於，已知，，求．
【例 52】 右圖中正方形的面積為1，、分別為、的中點，．求陰影部分的面積．
【例 53】 梯形的面積為12，，為的中點，的延長線與交於，四邊形的面積是 ．
【例 54】 如圖，三角形的面積為60平方厘公尺，、、分別為各邊的中點，那麼陰影部分的面積是平方厘公尺．
【例 55】 如圖,是直角梯形，，那麼梯形的面積是多少?
【例 56】 邊長為厘公尺和厘公尺的兩個正方形並放在一起，那麼圖中陰影三角形的面積是多少平方厘公尺？
【例 57】 如右圖，長方形中，，，求的長．
【例 58】 (第屆迎春杯試題)如圖，已知正方形的邊長為，是邊的中點，是邊上的點，且，與相交於點，求
【例 59】 如圖所示，已知平行四邊形的面積是1，、是、的中點，交於，求的面積．
4 3 5任意四邊形 梯形與相似模型 三 學生版
板塊三相似三角形模型 一 金字塔模型二 沙漏模型 所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形 只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似 與相似三角形相關的常用的性質及定理如下 相似三角形的一切對應線段的長度成比例，並且這個比例等於它們的相似比 相似三角形的面積比等於它們相似比的平方 連線三...
平行四邊形和梯形
平行四邊形和梯形 說課稿 一 說教材 1 說教學內容 人教版義務教育課程標準實驗教科書第七冊70 72頁，平行四邊形和梯形。2 教材內容在教材中的地位 作用及前後聯絡。數學第七冊分七個單元，平行四邊形和梯形是第四單元第二部分的第一課時。它是在學生直觀認識了平行四邊形，初步掌握了長方形和正方形的特徵，...
平行四邊形和梯形
一 教學內容 義務教育課程標準實驗教科書數學 四年級上冊 教科書70 71頁例1，練習十二相關練習題。二 教學目標 1 認識平行四邊形和梯形，掌握平行四邊形和梯形的特徵 2 學會四邊形分類 概括出長方形 正方形是特殊的平行四邊形，正方形是特殊的長方形的關係 3 培養學生動手操作能力，發展空間思維能力...