孫志業近幾年在全國各地的高考試題中出現了很多數列不等式的證明問題，而這些問題大多數涉及了放縮法證明不等式，放縮法證明不等式技巧性很高，對放縮的「度」也要求把握準確，所以放縮法證明不等式一直是乙個難點.本文僅就利用裂項手段進行放縮的一些常見形式進行一點說明.
一、 設為正項遞增等差數列，的放縮
因為遞增數列.
於是有同樣有
於是有<
若，也可有如下形式的放縮：
，在具體問題中，需通過問題的結構，靈活處理，尋求更為恰當的放縮方式.
例1：已知數列的前項和為，且，證明：.
證明：故二、 可變形為的形式
有些問題中，不是直接給出上述的形式，而通過一系列的變形可轉化為裂項求和的形式.
例2．已知數列中，，，證明：
證明：∴,∵,故,所以
,所以是單調遞增.
∵,∴=,∴
∴, ,…
令三、設為正項遞增等差數列，的放縮
因為遞增數列.
於是有同理有
即有特別地，令，則有
例3. 已知：f(x)＝,數列的前項和記為,點(,)
在曲線上，且，
（i）求數列{}的通項公式;（ii）求證：
這裡只進行第（2）問的證明.
由題設解出
於是四．設為正項遞增等差數列，的放縮
因為遞增數列.
當時，有
於是特別地，當時，有.
五、設為正項遞增等比數列，公比為，且，為常數.
則有證明：
例4．設數列的前項的和，
（ⅰ）求首項與通項；（ⅱ）設，，證明：（2006全國卷1第22題）
我們來看第二問的解答：
解: 由(ⅰ)求得 an=4n－2n, n=1,2,3, …,
(ⅱ)將an=4n－2n代入①得 sn=×(4n－2n)－×2n+1 + =×(2n+1－1)(2n+1－2)
=×(2n+1－1)(2n－1)
tn= =×=×(－)
所以<.
上述給出的各種裂項形式，在高考以及各地的模擬試題中頻繁出現，應熟練掌握這些放縮形式.當然，在解題過程中，還需應用一些變形技巧，以達到裂項放縮的目的.
福建省 張潤澤 裂項拆分證明數列不等式
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