裂項拆分證明數列不等式
福建省晉江市僑聲中學張潤澤郵編362271對於與前項和相關的數列不等式，我們往往採用對通項公式進行放縮的方法證明，但放縮時的尺度把握是比較困難的，有時放得過大，有時又縮得太小，這就需要我們不斷對目標式進行研究再進行相應的調整放縮尺度，因此，這種題目常讓我們絞盡腦汁，本文介紹一種從求證的目標式出發，先通過裂項拆分將前項問題轉化為通項問題，再用分析法尋找解題思路，下面略舉數例進行說明。
例1 等比數列的前項和為，已知對任意的，點，均在函式且均為常數)的影象上.（1）求的值；（2）當時，記（），證明：對任意，成立。(2023年山東卷)
解：（1）由已知可求得
（2）時，，
所求證不等式可化為（*）
分析1 裂項拆分法
因為（*）左邊是個式子的積，因此將右邊拆分為要證原不等式成立，只需證明
即證，亦即（**）
顯然（**）式成立，故原不等式成立。
分析2 利用單調性
設，原不等式可轉化為求最小值問題
通過數列單調性尋找值最小的項
因為所以
又，所以
即數列是乙個遞增數列，
故分析3 構造對偶式
設因為所以即，故
例2 求證：
證明：先對進行裂項拆分，得
於是要證明原不等式，只需證（*）
設函式則
所以在為減函式，即
故當時，有，即成立
設函式則
所以在為增函式，即
故當時，有，
即成立所以（*）式成立，故原不等式成立。
注本題先裂項拆分，將中間不等式轉化為項，則原不等式的證明轉化為（*）式的證明，再建構函式證明。對於常數又如何裂項拆分呢？請看下面式子：
當時，若則
若則如將3近似拆分為首項，公比都是的等比數列的前項和，則，得下面通過幾個例題說明其應用：
例3、已知數列滿足，求證：
分析如要將近似拆分為首項，公比都是的等比數列的前項和，則，得欲求證原不等式，只需證
即證顯然成立。
綜上，知原不等式成立。
例4 已知滿足，數列滿足，
是數列的前項和，求證：
分析如要將3近似拆分為首項，公比都是的等比數列的前項和，則，得欲證，只需證
所以又當，
當時，成立
綜上，知， 恆成立
故成立例5 已知函式，常數，數列滿足滿足，（1）求數列的通項公式；
（2）求證：．
分析 （1）時，，，
即．數列是以為首項，為公比的等比數列，
故，解得．
（2）原不等式可化為
如要把近似拆分為以為底的項，則，得
欲證原不等式，只需證
即只要證，，，
因為，所以（*）成立，原不等式成立。
發表於《數理天地》2023年第12期
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