（1）（2）將（2）式寫為，
（3）定義，則當時，。
故，當時，，；
當時，，。
定理一：
債券的**與債券的收益率成反比例關係。換句話說，當債券**上公升時，債券的收益率下降；反之，當債券**下降時，債券的收益率上公升
證明：（4）
定理二：
當市場預期收益率變動時，債券的到期時間與債券**的波動幅度成正比關係。換言之，到期時間越長，**波動幅度越大；反之，到期時間越短，**波動幅度越小。
證明：要計算，而，故僅需計算。將（2）式寫為，有
（5） 當時，，，；
當時，，，。
考慮的是**波動幅度。
定理三：
隨著債券到期時間的臨近，債券**的波動幅度減少，並且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券**波動幅度增加，並且是以遞減的速度增加。
證明：由（5）式，，
當時，；
當時，。
定理四：
對於期限既定的債券，由收益率下降導致的債券**上公升的幅度大於同等幅度的收益率上公升導致的債券**下降的幅度。換言之，對於同等幅度的收益率變動，收益率下降給投資者帶來的利潤大於收益率上公升給投資者帶來的損失。
證明：要證。由（4）有，
（6）故的斜率隨的增大而變大（注意），故和對應的連線比和要陡直，即……。
定理五：
對於給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券**的波動幅度成反比關係。換言之，息票率越高，債券**的波動幅度越小。定理**適用於一年期的債券和以統一公債為代表的無限期債券。
證明: 要證（注意），對於所有有限的成立。
由（2）式有，
故，（7）令，，則有，
（8），對所有有限的成立。
（9）當時，（9）等於0；當時，（9）為正。
下證當時，（9）為正。
記當時，，對所有成立。
所以，，，。
即，對所有時，（9）為正。
當時，，（9）式趨於0。
以直接債券推導久期公式。
命題 定理 證明
一 教法建議 拋磚引玉 本單元的主要內容是命題，定理和證明。在教學時，通過學生學習的一些命題和證明的定理，向學生介紹一些簡單的邏輯知識，邏輯的概念和術語，但不要在這些概念和術語上下功夫，能初步掌握就可以了，結合學生學過的圖形的性質和判定，用具體的例子說明什麼是命題，命題的組成和命題的真假，要講清楚這...
幾何定理證明
5個基本事實 1.兩直線平行，同位角相等 2.同位角相等，兩直線平行 3.邊角邊 4.角邊角 5.邊邊邊 定理及其證明 1.同角的餘角相等。2.對頂角相等。3.兩直線平行，內錯角相等 4.同旁內角互補，兩直線平行。5.平行於同一直線的兩直線平行。6.三角形內角和為180。已知 abc 求證 a b ...
定理證明例題
定理設t n 是乙個函式，t n n,則每乙個t n 時間的多帶圖靈機都和某乙個o t2 n 時間的單帶圖靈機等價 設t n 是乙個函式，t n n,則每乙個t n 時間的非確定型單帶圖靈機都與某乙個2 o t n 時間的確定型單帶圖靈機等價 定義 p是確定型單帶圖靈機在在多項式時間內可判定的語言類...