經典例題
型別一．有關概念的識別
1．下面幾個數：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，無理數的個數有（ ）
a、1 b、2 c、3 d、4
解析：本題主要考察對無理數概念的理解和應用，其中，1.010010001…，3π，是無理數
故選c舉一反三：
【變式1】下列說法中正確的是（ ）
a、的平方根是±3 b、1的立方根是±1 c、=±1 d、是5的平方根的相反數
【答案】本題主要考察平方根、算術平方根、立方根的概念，
∵=9，9的平方根是±3，∴a正確．
∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴b、c、d都不正確．
【變式2】如圖，以數軸的單位長線段為邊做乙個正方形，以數軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數軸正半軸於點a，則點a表示的數是（ ）
a、1 b、1.4 c、 d、
【答案】本題考察了數軸上的點與全體實數的一一對應的關係．∵正方形的邊長為1，對角線為，由圓的定義知|ao|=，∴a表示數為，故選c．
【變式3】
【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10
因此3π-9＞0，3π-10＜0
∴型別二．計算型別題
2．設，則下列結論正確的是（ ）
a. b.
c. d.
解析：（估算）因為，所以選b
舉一反三：
【變式1】1）1.25的算術平方根是平方根是2） -27立方根是3
【答案】1）；.2）-3. 3）， ，
【變式2】求下列各式中的
（1） （2） （3）
【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4
型別三．數形結合
3. 點a在數軸上表示的數為，點b在數軸上表示的數為，則a，b兩點的距離為______
解析：在數軸上找到a、b兩點，
舉一反三：
【變式1】如圖，數軸上表示1，的對應點分別為a，b，點b關於點a的對稱點為c，則點c表示的數是（ ）．
a．－1 b．1－ c．2－ d．－2
【答案】選c
[變式2] 已知實數、、在數軸上的位置如圖所示：
化簡【答案】：
型別四．實數絕對值的應用
4．化簡下列各式：
(1) |-1.4| (2) |π-3.142|
(34) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內的數是正數、負數還是零，然後根據絕對值的定義正確去掉絕對值。
解：(1) ∵=1.414…＜1.4
1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159…＜3.142
3.142|=3.142-π
(3(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
2x-3| =
說明：這裡對|2x-3|的結果採取了分類討論的方法，我們對這個絕對值的基本概念要有清楚的認識，並能靈活運用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0
∴|x2+6x+10|= x2+6x+10
舉一反三：
【變式1】化簡：
【答案】=+-=
型別五．實數非負性的應用
5．已知：=0，求實數a, b的值。
分析：已知等式左邊分母不能為0，只能有＞0，則要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非負數的和的性質知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式組從而求出a, b的值。
解：由題意得
由(2)得 a2=49 ∴a=±7
由(3)得 a>-7，∴a=-7不合題意捨去。
∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21
∴a=7, b=21為所求。
舉一反三：
【變式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
幾個非負數的和等於零，則必有每個加數都為0。
∴ 解這個方程組得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【變式2】已知那麼a+b-c的值為
【答案】初中階段的三個非負數： ，
a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
型別六．實數應用題
6．有乙個邊長為11cm的正方形和乙個長為13cm，寬為8cm的矩形，要作乙個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應為多少cm。
解：設新正方形邊長為xcm，
根據題意得 x2=112+13×8
∴x2=225
∴x=±15
∵邊長為正，∴x=-15不合題意捨去，
∴只取x=15(cm)
答：新的正方形邊長應取15cm。
舉一反三：
【變式1】拼一拼，畫一畫： 請你用4個長為a，寬為b的矩形拼成乙個大正方形，並且正中間留下的空白區域恰好是乙個小正方形。（4個長方形拼圖時不重疊）
（1）計算中間的小正方形的面積，聰明的你能發現什麼？
（2）當拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多3cm時，大正方形的面積就比小正方形的面積
多24cm2，求中間小正方形的邊長.
解析：（1）如圖，中間小正方形的邊長是：
，所以面積為=
大正方形的面積=，
乙個長方形的面積=。
所以，答：中間的小正方形的面積，
發現的規律是：（或）
(2) 大正方形的邊長：，小正方形的邊長：
，即 ，
又大正方形的面積比小正方形的面積多24 cm2
所以有，
化簡得：
將代入，得：
cm答：中間小正方形的邊長2.5 cm。
型別七．易錯題
7．判斷下列說法是否正確
（1）的算術平方根是-3； （2）的平方根是±15.
（3）當x=0或2時， （4）是分數
解析：（1）錯在對算術平方根的理解有誤，算術平方根是非負數.故
（2）表示225的算術平方根，即=15.實際上，本題是求15的平方根，
故的平方根是.
（3）注意到，當x=0時， =，顯然此式無意義，
發生錯誤的原因是忽視了「負數沒有平方根」，故x≠0，所以當x=2時，x=0.
（4）錯在對實數的概念理解不清. 形如分數，但不是分數，它是無理數.
型別八．引申提高
8．（1）已知的整數部分為a，小數部分為b，求a2-b2的值.
（2）把下列無限迴圈小數化成分數：①②③
（1）分析：確定算術平方根的整數部分與小數部分，首先判斷這個算術平方根在哪兩個整數之間，那麼較小的整數即為算術平方根的整數部分，算術平方根減去整數部分的差即為小數部分．
解：由得
的整數部分a=5, 的小數部分，
∴（2）解：(1) 設x= ①
則 ②得 9x=6
(2) 設 ①
則 ②得 99x=23
(3) 設 ①
則 ②得 999x=107，
學習成果測評：
a組（基礎）
一、細心選一選
1．下列各式中正確的是（ ）
a． b. c. d.
2. 的平方根是( )
a．4 b. c. 2 d.
3. 下列說法中 ①無限小數都是無理數 ②無理數都是無限小數 ③-2是4的平方根 ④帶根號的數都是
無理數。其中正確的說法有（ ）
a．3個 b. 2個 c. 1個 d. 0個
4．和數軸上的點一一對應的是（ ）
a．整數 b.有理數 c. 無理數 d. 實數
5．對於來說（ ）
a．有平方根 b．只有算術平方根 c. 沒有平方根 d. 不能確定
6．在（兩個「1」之間依次多1個「0」）中，無理數
的個數有（ ）
a．3個 b. 4個 c. 5個 d. 6個
7．面積為11的正方形邊長為x，則x的範圍是（ ）
a． b. c. d.
8．下列各組數中，互為相反數的是（ ）
a．-2與 b.∣-∣與 c. 與 d. 與
9．-8的立方根與4的平方根之和是（ ）
a．0 b. 4 c. 0或-4 d. 0或4
10．已知乙個自然數的算術平方根是a ，則該自然數的下乙個自然數的算術平方根是（ ）
a． b. c. d.
二、耐心填一填
11．的相反數是________，絕對值等於的數是
12．的算術平方根是
13．____的平方根等於它本身，____的立方根等於它本身，____的算術平方根等於它本身。
14．已知∣x∣的算術平方根是8，那麼x的立方根是_____。
15．填入兩個和為6的無理數，使等式成立6。
16．大於，小於的整數有______個。
17．若∣2a-5∣與互為相反數，則a=______，b=_____。
18．若∣a∣=6，=3，且ab0，則a-b=______。
19．數軸上點a，點b分別表示實數則a、b兩點間的距離為______。
20．乙個正數x的兩個平方根分別是a+2和a-4，則a=_____，x=_____。
三、認真解一解
21．計算
⑹ 4×[ 9 + 2×（）] （結果保留3個有效數字）
22．在數軸上表示下列各數和它們的相反數，並把這些數和它們的相反數按從小到大的順序排列，用「」號連線：
參***：
一: 1、b 2、d 3、b 4、d 5、c 6、a 7、b 8、c 9、c 10、d
二：11、，π-3 12、3，
13、0；0，；0，1 14、 15、答案不唯一如： 16、5
1718、-15 19、220、1，9
三：21、⑴ ⑵-17 ⑶-9 ⑷2 ⑸-36 ⑹37.9
22、b組（提高）
一、選擇題：
1．的算術平方根是 （ ）
a．0.14 b．0.014 c． d．
2．的平方根是 （ ）
a．－6 b．36 c．±6 d．±
3．下列計算或判斷：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，
其中正確的個數有 （ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
4．在下列各式中，正確的是 （ ）
a．; b．; c．; d．
5．下列說法正確的是 （ ）
a．有理數只是有限小數 b．無理數是無限小數 c．無限小數是無理數 d．是分數
6．下列說法錯誤的是 （ ）
a． b． c．2的平方根是 d．
7．若，且，則的值為 （ ）
a． b． c． d．
8．下列結論中正確的是 （ ）
a．數軸上任一點都表示唯一的有理數; b．數軸上任一點都表示唯一的無理數;
c. 兩個無理數之和一定是無理數; d. 數軸上任意兩點之間還有無數個點
9．-27 的立方根與的平方根之和是 （ ）
a．0 b．6 c．0或-6 d．-12或6
10．下列計算結果正確的是 （ ）
a． b． c． d．
二．填空題:
11．下列各數：①3.141、②0.33333
⑦0.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數逐次增加2）、⑧0中,其中是有理數的有
無理數的有填序號）
12．的平方根是0.216的立方根是
13．算術平方根等於它本身的數是立方根等於它本身的數是
14. 的相反數是絕對值等於的數是
15．乙個正方體的體積變為原來的27倍，則它的稜長變為原來的倍.
三、解答題：
16．計算或化簡：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
17．已知 ，且x是正數，求代數式的值。
18．觀察右圖，每個小正方形的邊長均為1，
⑴圖中陰影部分的面積是多少？邊長是多少？
⑵估計邊長的值在哪兩個整數之間。
⑶把邊長在數軸上表示出來。
參***：
一、選擇題：
1、a 2、c 3、b 4、b 5、b 6、d 7、b 8、d 9、c 10、b
二．填空題:
1112、；0.6. 13、；. 14、； ． 15、3.
三、解答題：
16、計算或化簡：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
17、解： 25x2=144
又∵x是正數
∴x=∴18、解：①圖中陰影部分的面積17，邊長是
②邊長的值在4與5之間③
實數經典例題及習題
經典例題 型別一 有關概念的識別 1 下面幾個數 0.23 1.010010001 3 其中，無理數的個數有 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 本題主要考察對無理數概念的理解和應用，其中，1.010010001 3 是無理數 故選c舉一反三 變式1 下列說法中正確的是 a 的平方根是 3 b 1...
2014041復件實數經典例題及習題
實數單元測試題 1 一 細心選一選 1 下列各式中正確的是 a b.c.d.2.的平方根是a 4 b.c.2 d.3.下列說法中 無限小數都是無理數 無理數都是無限小數 2是4的平方根 帶根號的數都是無理數。其中正確的說法有 a 3個 b.2個 c.1個 d.0個 4 和數軸上的點一一對應的是 a ...
第六章實數經典例題及習題
例1 下面幾個數 0.23 1.010010001 3 其中，無理數的個數有 a 1 b 2 c 3 d 4 變式1 下列說法中正確的是 a 的平方根是 3 b 1的立方根是 1 c 1 d 是5的平方根的相反數 變式2 如圖，以數軸的單位長線段為邊做乙個正方形，以數軸的原點為圓心，正方形對角線長為...