11. （2011四川眉山，25，9分）如圖，點p是菱形abcd的對角線bd上一點，連線cp並延長，交ad於e，交ba的延長線於f．
（1）求證：∠dcp=∠dap；
（2）若ab=2，dp：pb=1：2，且pa⊥bf，求對角線bd的長．
考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的性質。
12. （2023年四川省綿陽市，24，12分）已知拋物線y=x2-2x+m-1與x軸只有乙個交點，且與y軸交於a點，如圖，設它的頂點為b．
（1）求m的值；
（2）過a作x軸的平行線，交拋物線於點c，求證：△abc是等腰直角三角形；
（3）將此拋物線向下平移4個單位後，得到拋物線c′，且與x軸的左半軸交於e點，與y軸交於f點，如圖．請在拋物線c′上求點p，使得△efp是以ef為直角邊的直角三角形．
考點：二次函式綜合題．
25、（2023年四川省綿陽市，25，14分）已知△abc是等腰直角三角形，∠a=90°，d是腰ac上的乙個動點，過c作ce垂直於bd或bd的延長線，垂足為e，如圖．
（1）若bd是ac的中線，求．的值；
（2）若bd是∠abc的角平分線，求的值；
（3）結合（1）、（2），試推斷的取值範圍（直接寫出結論，不必證明），並**的值能小於嗎？若能，求出滿足條件的d點的位置；若不能，說明理由．
考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形．
13. （2011成都，20，10分）如圖，已知線段ab∥cd，ad與bc相交於點k，e是線段ad上一動點．
（1）若bk＝kc，求的值；
（2）連線be，若be平分∠abc，則當ae＝ad時，猜想線段ab．bc．cd三者之間有怎樣的等量關係？請寫出你的結論並予以證明．再**：當ae＝ad（n＞2），而其餘條件不變時，線段ab，bc，cd三者之間又有怎樣的等量關係？
請直接寫出你的結論，不必證明．
考點：相似三角形的判定與性質；角平分線的性質。
14. 2011樂山）選做題：從甲、乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計分．
題乙：如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，對角線ac、bd相交於點o，ad=2，bc=bd=3，ac=4．
（1）求證：ac⊥bd；
（2）求△aob的面積．
我選做的是題．
考點：根與係數的關係；分式的化簡求值；勾股定理的逆定理；梯形；相似三角形的判定與性質。
15. 如圖，在△abc中，點d、e分別是邊ab、ac的中點，df過ec的中點g並與bc的延長線交於點f，be與de交於點o．若△ade的面積為s，則四邊形b0gc的面積=
【考點】相似三角形的判定與性質；三角形的面積；三角形中位線定理．
16.（2011樂山）如圖（1），在直角△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab，垂足為d，點e在ac上，be交cd於點g，ef⊥be交ab於點f，若ac=mbc，ce=nea（m，n為實數）．試**線段ef與eg的數量關係．
（1）如圖（2），當m=1，n=1時，ef與eg的數量關係是證明：
（2）如圖（3），當m=1，n為任意實數時，ef與eg的數量關係是證明：
（3）如圖（1），當m，n均為任意實數時，ef與eg的數量關係是寫出關係式，不必證明）
考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理。
17. （2011南充，19，8分）如圖，點e是矩形abcd中cd邊上一點，△bce沿be摺疊為△bfe，點f落在ad上．
（1）求證：△abf∽△dfe
（2）若sin∠dfe=，求tan∠ebc的值．
考點：相似三角形的判定與性質；矩形的性質；翻摺變換（摺疊問題）；解直角三角形。
專題：應用題；證明題。
18. （2011四川遂寧，22，9分）已知ab是⊙o的直徑，弦ac平分∠bad，ad⊥cd於d，be⊥cd於e．
求證：（1）cd是⊙o的切線；（2）cd2=adbe．
考點：切線的判定與性質；全等三角形的判定與性質；圓周角定理；相似三角形的判定與性質。
19. （2011四川雅安，24,10分）如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑作⊙o，交bc於點d，過點d作de⊥ac，垂足為e．
（1）求證：de是⊙o的切線；
（2）如果bc=8，ab=5，求ce的長．
考點：切線的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質。
專題：證明題。
20. 已知：在△abc中，以ac邊為直徑的⊙o交bc於點d，在劣弧上取一點e使∠ebc = ∠dec，延長be依次交ac於g，交⊙o於h.
(1)求證：ac⊥bh
(2)若∠abc= 45°，⊙o的直徑等於10，bd =8，求ce的長.
考點：圓周角定理；勾股定理；相似三角形的判定與性質．
21. （2011杭州，22，10分）在直角梯形abcd中，ab∥cd，∠abc=90°，ab=2bc=2cd，對角線ac與bd相交於點o，線段oa，ob的中點分別為e，f．
（1）求證：△foe≌△doc；
（2）求sin∠oef的值；
（3）若直線ef與線段ad，bc分別相交於點g，h，求的值．
考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；三角形中位線定理；直角梯形；銳角三角函式的定義．
22. （2011杭州，24，12分）圖形既關於點o中心對稱，又關於直線ac，bd對稱，ac=10，bd=6，已知點e，m是線段ab上的動點（不與端點重合），點o到ef，mn的距離分別為h1，h2，△oef與△ogh組成的圖形稱為蝶形．
（1）求蝶形面積s的最大值；
（2）當以eh為直徑的圓與以mq為直徑的圓重合時，求h1與h2滿足的關係式，並求h2的取值範圍．
考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的判定與性質；軸對稱的性質；中心對稱；平行線分線段成比例．
23. （2011浙江嘉興，16，4分）如圖，ab是半圓直徑，半徑oc⊥ab於點o，ad平分∠cab交弧bc於點d，連線cd．od，給出以下四個結論：①ac∥od；②ce=oe；③△ode∽△ado；④2cd2=ceab．其中正確結論的序號是 ①④ ．
考點：相似三角形的判定與性質；三角形內角和定理；等腰三角形的判定；圓心角．弧．弦的關係；圓周角定理．
24. （2011浙江義烏，23，10分）如圖1，在等邊△abc中，點d是邊ac的中點，點p是線段dc上的動點（點p與點c不重合），連線bp．將△abp繞點p按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△a1b1p，連線aa1，射線aa1分別交射線pb、射線b1b於點e、f．
（1）如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△bef與△aep始終存在相似關係（填「相似」或「全等」），並說明理由；
（2）如圖2，設∠abp＝β．當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△bef與△aep全等？若存在，求出α與β之間的數量關係；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當α＝60°時，點e、f與點b重合．已知ab＝4，設dp＝x，△a1bb1的面積為s，求s關於x的函式關係式．
考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；旋轉的性質。
25. （2010廣東，21，9分）如圖（1），△abc與△efd為等腰直角三角形，ac與de重合，ab=ac=ef=9，∠bac=∠def=90，固定△abc，將△def繞點a順時針旋轉，當df邊與ab邊重合時，旋轉中止．現不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設de，df(或它們的延長線)分別交bc(或它的延長線) 於g，h點，如圖(2)
（1）問：始終與△agc相似的三角形有及 ；
（2）設cg=x，bh=y，求y關於x的函式關係式（只要求根據圖(2)的情形說明理由）
（3）問：當x為何值時，△agh是等腰三角形.
考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；等腰直角三角形；旋轉的性質
27. (2011襄陽，25，10分)如圖，點p是正方形abcd邊ab上一點(不與點a，b重合)，連線pd並將線段pd繞點p順時針方向旋轉90°得到線段pe，pe交邊bc於點f，連線be，df．
（1）求證：∠adp＝∠epb；
（2）求∠cbe的度數；
（3）當的值等於多少時，△pfd∽△bfp？並說明理由．
考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質。
分析：（1）根據∠adp與∠epb都是∠apd的餘角，根據同角的餘角相等，即可求證；
（2）首先證得△pad≌△egp，可以證得△bcg是等腰直角三角形，可以證得∠ebg＝45°，即可證得∠cbe＝45°；
（3）這兩個三角形是直角三角形，若相似，則對應邊的比相等，即可求得的值．
28. （2011湖北武漢，24，10分）（1）如圖1，在△abc中，點d．e．q分別在abacbc上，且de∥邊長，aq交de於點p，求證： =；
（2）如圖，△abc中，∠bac=90°，正方形defg的四個頂點在△abc的邊上，連線ag，af分別交de於m，n兩點．
①如圖2，若ab=ac=1，直接寫出mn的長；
②如圖3，求證：mn2=dmen．
考點：相似三角形的判定與性質；正方形的性質。
29.（2011湖南懷化,21,10分）如圖，△abc是一張銳角三角形的硬紙片．ad是邊bc上的高，bc=40cm，ad=30cm．從這張硬紙片剪下乙個長hg是寬he的2倍的矩形efgh．使它的一邊ef在bc上，頂點g，h分別在ac，ab上．ad與hg的交點為m．
（1）求證：＝；
（2）求這個矩形efgh的周長．
考點：相似三角形的判定與性質；矩形的性質。
30. 如圖①，將菱形紙片ab（e）cd（f）沿對角線bd（ef）剪開，得到△abd和△ecf，固定△abd，並把△abd與△ecf疊放在一起．
（1）操作：如圖②，將△ecf的頂點f固定在△abd的bd邊上的中點處，△ecf繞點f在bd邊上方左右旋轉，設旋轉時fc交ba於點h（h點不與b點重合），fe交da於點g（g點不與d點重合）．求證：bhgd=bf2
（2）操作：如圖③，△ecf的頂點f在△abd的bd邊上滑動（f點不與b、d點重合），且cf始終經過點a，過點a作ag∥ce，交fe於點g，連線dg．
**：fd+dg= db．請予證明．
全等三角形和相似三角形
a.上節知識問答 b.精彩導學 三角形全等中考以證明題出現，比例的性質是數學基本能力，相似出現在壓軸題題中。c.教師精講 全等三角形回顧 全等三角形的典型圖形 全等三角形判定 sas 兩邊夾角證全等 asa 兩角夾邊證全等 aas 兩角一邊證全等 sss 三邊相等證全等 hl 直角三角形直角邊和斜邊...
相似三角形性質學案
紅宇高中高二數學 文 引案 21 一 學習目標 1 理解相似三角形的性質的推理過程並牢記。2 能利用相似三角形的性質解決簡單的問題。二 學習重點 難點 相似三角形的性質及其應用 三 學習過程 一 預習質疑 1 相似三角形的特徵是什麼學生口答 2 全等三角形對應邊上的中線 高 對應角的角平分線是否相等...
相似三角形的判定方法
一 相似三角形 1 定義 對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形 當乙個三角形的三個角與另乙個 或幾個 三角形的三個角對應相等，且三條對應邊的比相等時，這兩個 或幾個 三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個條件，缺一不可 相似三角形的特徵 形狀一樣，但大小不一定相等 相似三角形的定義，可...