九年級上第24章第4節中位線知識拓展
例1. 如圖，四邊形abcd中，ab=cd，m、n分別為ad、bc的中點，ef⊥mn交ab於e，交cd於f，求證：∠aef=∠dfe.
分析欲證∠aef=∠dfe，由mn⊥ef想到延長ba、cd與nm的延長線交於p、q，只需證明∠epn=∠q.如何利用中點的條件？想到三角形的中位線.
連線bd，取bd的中點g，則有由於ab=cd，進而有gm=gn，∠gmn=∠gnm.然後再轉化∠epn=∠q.從而證出結論.
證明延長ba、cd分別與nm的延長線交於p、q，鏈結bd，取bd的中點g，鏈結gm、gn.
∵g、m分別為△abd的邊bd、ad的中點，
∴ 同理可得：
又∵∵∥∥，∴∴
∴（等角的餘角相等）
說明添輔助線是證明幾何題的難點，尤其像本題要添多條輔助線，更為困難.掌握一般添輔助線的規律是必要的，更為重要的是在分析中自然添輔助線，添輔助線是分析問題過程的乙個步驟，這是幾何證明的較高層次，要在實踐中仔細體會，不斷摸索，不斷總結.
例2．如圖，c為已知線段ab外一點，以ac，bc為邊，分別向的外側作正方形acfd和正方形bcge，不論c點的位置在ab的同側怎樣變化，
求證：（1）d，e到ab所在直線的距離之和為定值；
（2）線段de的中點m為定點.
證明：（1）作於，於，於.
∵，且∴[
∴k]∴∴ ∴
∴ ∴.
同理：∴（為定值）
（2）過m作於n. ∵，∴
∵，∴ ∵∴
∴∴∴ ∴.
即n為ab的中點（為定點）
又∵（為定值），
∴m為定點.
分析本題綜合考查了平行線等分線段定理，梯形中位線定理及全等三角形的判定與性質等，易錯點是對定值、定點不理解，解題關鍵是作如圖所示的四條輔助線.
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