專題八三角形
一目標：
（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關概念。
（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進行計算、解答有關綜合題。
（3）培養學生的轉化、數形結合、及分類討論的數學思想的能力
二重點、難點：
三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎知識、基本技能是本節的重點。難點是綜合應用這些知識解決問題的能力。
三知識要點：
知識點1 三角形的邊、角關係
①三角形任何兩邊之和大於第三邊；
②三角形任何兩邊之差小於第三邊；
③三角形三個內角的和等於180°；
④三角形三個外角的和等於360°；
⑤三角形乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和；
⑥三角形乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角。
知識點2 三角形的主要線段和外心、內心
①三角形的角平分線、中線、高；
②三角形三邊的垂直平分線交於一點，這個點叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點的距離相等；
③三角形的三條角平分線交於一點，這個點叫做三角形的內心，三角形的內心到三邊的距離相等；
④鏈結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的一半。
知識點3 等腰三角形
等腰三角形的識別：
①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
②有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）；
③三邊相等的三角形是等邊三角形；
④三個角都相等的三角形是等邊三角形；
⑤有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
等腰三角形的性質：
①等邊對等角；
②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；
③等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸；
④等邊三角形的三個內角都等於60°。
知識點4 直角三角形
直角三角形的識別：
①有乙個角等於90°的三角形是直角三角形；
②有兩個角互餘的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理：如果乙個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形。
直角三角形的性質：
①直角三角形的兩個銳角互餘；
②直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半；
③勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
知識點5 全等三角形
定義、判定、性質
知識點6 相似三角形
知識點7 銳角三角函式
例1. （1）已知：等腰三角形的一邊長為12，另一邊長為5，求第三邊長。
（2）已知：等腰三角形中一內角為80°，求這個三角形的另外兩個內角的度數。
分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。
解：（1）分兩種情況：
①若腰長為12，底邊長為5，則第三邊長為12。
②若腰長為5，底邊長為12，則第三邊長為5。但此時兩邊之和小於第三邊，故不合題意。
因此第三邊長為12。
（2）分兩種情況：
①若頂角為80°，則另兩個內角均為底角分別是50°、50°。
②若底角為80°，則另兩個內角分別是80°、20°。
因此這個三角形的另外兩個內角分別是50°、50°或80°、20°。
說明：此題運用「分類討論」的數學思想，本題著重考查等腰三角形的性質、三角形的三邊關係。
例2. 已知：如圖，⊿abc和⊿ecd都是等腰三角形，∠acb＝∠dce＝90°，d為ab邊上的一點，求證：（1）⊿ace≌⊿bcd，（2）ad＋ae＝de。
分析：要證⊿ace≌⊿bcd，已具備ac＝bc，ce＝cd兩個條件，還需ae＝bd或∠ace＝∠bcd，而∠ace＝∠bcd顯然能證;要證ad＋ae＝de，需條件∠dae＝90°，因為∠bac＝45°，所以只需證∠cae＝∠b＝45°，由⊿ace≌⊿bcd能得證。
證明：（1）∵∠dce＝∠acb＝90°，∴∠dce－∠acd＝∠acb－∠acd，
即∠ace＝∠bcd，∵ac＝bc，ce＝cd，
∴⊿ace≌⊿bcd。
（2）∵⊿ace≌⊿bcd，∴∠cae＝∠b＝45°，∵∠bac＝∠b＝45°，∴∠dae＝90°，∴ad＋ae＝de。
例3. 已知：點p是等邊⊿abc內的一點，∠bpc＝150°，pb＝2，pc＝3，求pa的長。
分析：將⊿bap繞點b順時針方向旋轉60°至⊿bcd，即可證得⊿bpd為等邊三角形，⊿pcd為直角三角形。
解：∵bc＝ba，
∴將⊿bap繞點b順時針方向旋轉60°，使ba與bc重合，得⊿bcd，鏈結pd。
∴bd＝bp＝2，pa＝dc。∴⊿bpd是等邊三角形。∴∠bpd＝60°。
∴∠dpc＝∠bpc－∠bpd＝150°－60°＝90°。
∴dc＝．∴pa＝dc＝。
【變式】若已知點p是等邊⊿abc內的一點，pa＝，pb＝2，pc＝3。能求出∠bpc的度數嗎？請試一試。
例4. 如圖，p是等邊三角形abc內的一點，鏈結pa、pb、pc，以bp為邊作∠pbq＝60°，且bq＝bp，鏈結cq．
（1）觀察並猜想ap與cq之間的大小關係，並證明你的結論．
（2）若pa：pb：pc＝3：4：5，鏈結pq，試判斷△pqc的形狀，並說明理由．
解：（1）把△abp繞點b順時針旋轉60°即可得到△cbq．利用等邊三角形的性質證△abp≌△cbq，得到ap＝cq．
（2）連線pq，則△pbq是等邊三角形．pq＝pb，ap＝cq故cq：pq：pc＝pa：pb：pc＝3：4：5，∴△pqc是直角三角形．
點評：利用等邊三角形性質、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明．
例5. 如圖，有兩個長度相同的滑梯（即bc＝ef），左邊滑梯的高度ac與右邊滑梯水平方向的長度df相等，則∠abc＋∠dfe＝______．
分析：∠abc與∠dfe分布在兩個直角三角形中，若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解．
解答：在rt△abc和rt△def中，bc＝ef，ac＝df，
∴△abc≌△def，∴∠abc＝∠def，
∴∠abc＋∠dfe＝90°，因此填90°．
點評：此例主要依據用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，並運用與它相關的性質進行解題．
例6. 《中華人民共和國道路交通管理條例》規定：「小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千公尺/時」．一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25公尺處有「車速檢測儀o」，測得該車從北偏西60°的a點行駛到北偏西30°的b點，所用時間為1.
5秒．（1）試求該車從a點到b的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速．
解析：（1）要求該車從a點到b點的速度．只需求出ab的距離，
在△oac中，oc＝25公尺．∵∠oac＝90°－60°＝30°，∴oa＝2co＝50公尺
由勾股定理得ca＝＝25（公尺）
在△obc中，∠boc＝30°
∴bc＝ob。 ∴（2bc）2＝bc2＋252 ∴bc＝（公尺）
∴ab＝ac－bc＝25－＝（公尺）∴從a到b的速度為÷1.5＝（公尺/秒）
（2）公尺/秒≈69.3千公尺/時
∵69.3千公尺/時<70千公尺/時
∴該車沒有超過限速． 點評：此題應用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數的綜合應用．
例7. 如圖，正方形網格中，小格的頂點叫做格點，小華按下列要求作圖：①在正方形網格的三條不同的實在線各取乙個格點，使其中任意兩點不在同一實在線；②鏈結三個格點，使之構成直角三角形，小華在下面的正方形網格中作出了rt△abc．請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網格中各畫出乙個直角三角形，並使三個網格中的直角三角形互不全等．
簡析：此題的答案可以有很多種，關鍵是抓住有一直角這一特徵，可以根據勾股定理的逆定理「若兩邊的平方和等於第三邊的平方，則三角形為直角三角形」構造出直角三角形，答案如下圖．
例8. 如圖所示，在△abc中，ab＝ac＝1，點d、e在直線bc上運動，設bd＝x，ce＝y．
（1）如果∠bac＝30°，∠dae＝105°，試確定y與x之間的函式關係式；
（2）如果∠bac的度數為α，∠dae的度數為β，當α、β滿足怎樣的關係式時，（1）中y與x之間的函式關係式還成立，試說明理由．
解：（1）在△abc中，ab＝ac＝1，∠bac＝30°，∠abc＝∠acb＝75°，∠abd＝∠ace＝105°．
又∠dae＝105°，∴∠dab＋∠cae＝75°．
又∠dab＋∠adb＝∠abc＝75°，
∴∠cae＝∠adb，∴△adb∽△eac，
∴，∴y＝．
（2）當α、β滿足β－＝90°，y＝仍成立．
此時∠dab＋∠cae＝β－α，∴∠dab＋∠adb＝β－α，
∴∠cae＝∠adb．
又∵∠abd＝∠ace，∴△adb∽△eac，∴y＝．
點評：確定兩線段間的函式關係，可利用線段成比例、找相等關係轉化為函式關係．
例9. 如圖，梯形abcd中，ab∥cd，且ab＝2cd，e，f分別是ab，bc的中點，ef與bd相交於點m．
（1）求證：△edm∽△fbm；
（2）若db＝9，求bm．
（1）證明：∵e是ab中點，∴ab＝2be，ab＝2cd，∴cd＝eb，
又ab∥cd，∴四邊形cbed是平行四邊形，
∴cb∥de，∴，∴△edm∽△fbm．
（2）解：△edm∽△fbm，∴，
∴f是bc中點，de＝2fb，∴dm＝2bm，∴bm＝db＝3
例10. 已知△abc中，∠acb＝90，cd⊥ab於d，ad∶bd＝2∶3且cd＝6。
求（1）ab；（2）ac。
分析：設ad＝2k，bd＝3k。根據直角三角形和它斜邊上的高，可知△abc∽△acd∽△cbd。
通過相似三角形對應邊成比例求出其中k的大小；但是如果根據射影定理，那麼就可以直接計算出k的大小。
解：設ad＝2k，bd＝3k（k >0）。
∵∠acb＝90，cd⊥ab。∴cd2＝adbd，
∴62＝2k3k，∴k＝。∴ab＝。又∵ac2＝adab，∴ac＝。
例11. 已知△abc中，∠acb＝90，ch⊥ab，he⊥bc，hf⊥ac。
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