----對「乘法分配律」的點滴思考
在教學工作中，經常聽到辦公室的老師抱怨教學完《乘法分配律》後，學生的錯誤較多，教師反覆講反覆做，可是效果不明顯，自己也曾遇到過這樣的現象，老師往往是「吃力不討好」。基於這樣的背景，筆者開始思考：為什麼學生對這一知識的錯誤率這麼高？
是學生的問題還是老師的問題？這一內容是學生在學過加法交換律、結合律和乘法交換律、結合律之後的又一運算定律。乘法分配律較之乘法交換律和結合律，是學生學習中的乙個難點，在實際教學這一定律的前期，學生的學習效果似乎還不錯，可是到了稍後的綜合練習和變式練習，錯誤卻接連不斷，效果不甚理想。
我想這並不僅僅是「聽講不認真、粗心或練習過少」這些表面因素所造成的，它和兒童的情感、情境創設的方法、知識本身的複雜性以及兒童的認知發展有著緊密的聯絡。為此，筆者對學生較多出現的錯誤進行蒐集整理，細加分析，明確學生失誤的原因，並在教學中採取一些糾錯和優化的新舉措，希望能達到減少或避免錯誤的目的。
一．典型錯題再現與成因分析
1．錯題再現
在教學《乘法分配律》時，發現學生在練習中的錯題較多，例如：
（30＋40）×25=30＋25×40
12×97+3=12×（97+3）
125×(4×8)=125×4×125×8
32×25×125=（4×25）+（8×125）
25×（4+8）×125=25×4+8×125
88×125=80×（125×8）
39×99=39×（99+1）
面對這樣的錯誤，一般又要花上好幾節課的時間或大量的練習題進行強化訓練才能使學生的這些錯誤有所好轉。說不好到了期末階段或是公升上乙個年級，錯誤又「捲土重來」。這樣的效果使我們很鬱悶，問題到底出在**？
2、成因分析
（1）簡單模仿
乘法分配律由於學生沒有生活經驗基礎及相關認識，其運用又變化多端,所以課即使上了,他們也沒能真正理解其內涵,只是純粹地模仿；課後，學生對這個知識點的遺忘速度非常快，且不會靈活運用。對於數學基礎薄弱的學生，哪怕硬記了分配律的各種型別，依舊邊記邊忘，更談不上從真正意義上去理解。
（2）對比教材
教材研討對比是發現問題的有利渠道之一。筆者查閱了幾個版本教材對這一內容的編排特點，發現大部分的教材都是這樣編排的：從問題情境列出算式入手，發現兩邊的算式結果是相等的，仿寫這樣的很多例子，於是採用不完全歸納法得出了乘法分配律（a＋b）×c=a×c＋b×c，一般教師的教學程式正好體現了教材的編排意圖，說明利用情境幫助學生學習乘法分配律已經達成了共識。
通過分析，筆者認為乘法分配律有著很強的抽象性與概括性，它將「×、+」以及小括號通通結合在一起，屬於多種因素混合在一起的複雜性知識。除此之外，分配律的左右形式改變，但是結果仍然相等。學生在學習中不容易理解這種變化，意識不到「變中的不變」。
學生只是機械記住了乘法分配律的形式，學生只知其然不知其所以然是最根本的原因，沒有很好從意義入手理解乘法分配律，這樣不利於學生對知識的掌握，也不利於建立數學模型。
基於學生出現的這些錯誤現象，結合自己的教學過程和學生實際情況，筆者通過這樣的糾錯教學與方法擇優教學，希望能對這個困擾多時的難題能有所改善。
二．方法實施：
（一）糾錯教學：
例一：（30＋40）×25=30＋25×40 12×97+3=12×（97+3）
出現這樣的錯誤，首要問題是這些學生知道在使用乘法分配律，但普遍說不完整乘法分配律；第二個問題是關注點在「湊整」上，以為達成了湊整，就完成了簡算，完全不去考慮符號等細節問題；第三個問題是受到乘法結合律的負遷移的影響，想當然得出了這樣的算式。而且對於題中4和25的搭配太熟記於心了，以至於出現了這樣的錯誤，如何引導他們更好地掌握分配律的基本型，為此我設計了具體的情境教學：四（1）班要購置25套課桌椅，每張桌子40元，每把椅子30元，一共需要多少錢？
以此題為例，從實際問題情境的具體意義和乘法的一般意義兩個方面，加深對30×25+40×25=25×（30+40）等式的理解，既可以讓學生對乘法分配律加以解釋和說明，從而達到理解水平，把握知識的發生、發展的本源，同時也是為後續a×c+c=(a+1) ×c做好必要的滲透和準備。然後再回過頭看原題，學生就發現問題所在，從而對乘法分配律的真正意義會理解的更加透徹。
例二： 125×(4×8)
=（125×4）×（125×8）
=500×1000
=500000
顯然，以上錯誤是學生把乘法結合律與乘法分配律混淆了。為了幫助學生避免上述錯誤的發生，教學中我採用了題組比較的方法，出示：125×(4+8)和125×(4×8)放在一起，組成題組進行比較，並進行如下追問：
這兩道題有什麼相同點和不同點？到底用乘法分配律還是用乘法結合律？我們該如何正確選擇呢？
通過這樣的比較和追問，提醒學生注意：兩數之和乘第三個數，可以選用乘法分配律；三個數連乘，應選用乘法結合律。我想通過這樣的對比練習，學生的印象會更加深刻，掌握的也會更好。
接著再出示25×（4+8）×125和25×（4×8）×125，相信學生的錯誤率會大大降低。
例三：88×125
=80×（125×8）
=80×1000
=80000
多數學生雖然知道要拆88這個數，但對於到底怎麼拆卻舉棋不定。為了幫助學生弄清拆數的要領，我將本題的兩種不同計算過程板演在一起，讓學生觀察比較。
（1）88×125
=（80+8）×125
=80×125+8×125
=10000+1000
=11000
（2）88×125
=（8×11）×125
=（8×125）×11
=1000×11
=11000
師：兩種計算方法有什麼相同的地方？有什麼不同之處？【預設學生回答：都是拆88，前一種把88拆成兩數之和；後一種把88拆成兩數之積】
師：不管是拆成兩數之和還是兩數之積，都要注意什麼？【預設學生回答：拆成的算式必須與原數大小相等】
師追問：如果拆成兩數之積，應用哪種運算定律？如果拆成兩數之和，所運用的又是什麼運算定律呢？
通過以上比較設疑解決如何拆乙個數的問題，那麼對於39×99=39×（99+1）這樣的錯誤學生就會避免。但在練習中到底需不需要拆數，還要根據實際情況作出準確判斷。但學生恰恰缺乏這種判斷能力，從而導致錯誤發生。
這就是下面筆者要說到的方法擇優。
（二）擇優教學：
例四：57×99+57
=57×(100-1)+57
=57×100-57+57
=5700-57+57
=5643+57
=5700
這題本來是可以直接應用乘法分配律進行簡算的算式，但不少學生出現繁瑣或錯誤計算的現象。究其原因：第一，這道題是乘法分配律通常形式的反向運用，而這恰恰是學生學習中的一大難點；第二，這道題與原乘法分配律基本形式的結構相比發生了很大的變化，學生的思維始終定格在「乘加乘」模式中，所以形式一旦發生變化，有的學生就「不識廬山真面目」了。
可見學生對乘法分配律意義理解的單薄、膚淺，導致思維呆板、僵化。於是，我在教學時設定了這樣的情境：「六一」兒童節學校開展歌詠比賽，四年級的99名參賽學生和一名學生指揮要求穿統一服裝，如果買圖中的短袖衫，一共要付多少元？
（短袖衫每件32元）
在學生列出兩種不同的算式32×99+32和32×（99+1）後，我首先引領學生推斷兩種算式相等，左邊99個32 加1個32就等於（99+1）個32，然後發現：左邊的算式表示買99件短袖衫的錢數加上1件短袖衫的錢數，也可以寫成32×99+32×1, 這時學生發現32×99+32=32×（99+1）。練習後，教師及時幫助學生提煉：
a×c+c並追問：可以運用乘法分配律進行計算嗎？為什麼？
引領學生概括和推理：a×c+c=a×c+c×1=(a+1) ×c
例五：125×888
=125×（800+80+8）
=125×800+125×80+125×8
=100000+10000+1000
=111000
對於學生出現這樣的做法，教師應予以肯定，但如果不重視學生的這種解題思路，單是給乙個「√」完事的話，恐怕對學生的思維發展是無益的，考慮至此，我設計了這樣的情境：
師：此題還有不同的做法嗎？學生中肯定會有125×888=125×（8×111）的做法，把這種做法板書於黑板上，請學生比較：
哪種做法更方便一些？通過比較得出結論：第二種做法更好。
我並沒有「適可而止」，而是又寫了一題：125×8888，學生幾乎都選擇了第二種做法，效果較好。擇優方法的教學在這裡發揮的淋漓盡致。
例六：（125+75）×8
125×8+75×8
1000+600
1600
一開始出示此題，學生還丈二和尚摸不著頭腦，認為就應該這麼做呀！我請學生仔細觀察數字的特徵，這時才有幾個學生發現問題的所在：原來這道題不用乘法分配律更簡單，小括號裡算出200，再乘8就等於1600.
可是正因為捕捉到了乘法分配律的特徵，加上有125和8這兩個特殊的數，學生幾乎想都沒想就用了乘法分配律來做，看來有的時候還得「具體題目具體分析」。
例七：101×99
=101×（100-1）
=101×100-101
=10100-101
=9999
此題有很多學生算到最後一步減法出錯了，四年級學生有的懶於列豎式，直接心算，有的寫了1099，有的寫99999，還有的寫1999…究其原因，原來是退位減法「惹的禍」。對於101、99這樣的「敏感」數，有的學生想到了分拆101：
101×99
=（100+1）×99
=100×99+99
=9900+99
=9999
同樣的一道題目，分拆99的學生錯誤率很高，而分拆101的學生幾乎都做對了，由此可見在方法的選擇上是有講究的，而且對於學生來說有著親身體驗和自己的感悟，這樣的教學比讓學生做10道題來說一定會讓他們留下深刻的印象。
（三）發展思維：
例八：97×25+75
對於此題的出現，通過上述糾錯，已沒有學生用97×（25+75）這樣的方法來做了，但筆者認為有必要讓我們的「乘法分配律」在孩子的心中得到昇華。
像這類特徵變式、隱蔽的題目，相當多的學生沒有進行簡便計算。因此，精心設計練習，指導學生捕捉題目中隱藏的乘法分配律特徵，就顯得比較重要。為此我是這樣設計的：
在下列括號中添上乙個數，使算式能夠簡便運算。
（1）25×19×（ ）
（2）78×43
（3）（125+31）×（ ）
（4）23×88+69×（ ）
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