兩堂「幾類不同增長的函式模型」課
的評析與反思
溫州市第二十三中學 325000 謝尚志1
蒼南縣靈溪第二高階中學 325800 林光來2
前不久，在浙江省高中數學課堂教學評比活動中，筆者有幸聽到了溫州二中張啟津老師執教的《幾類不同增長的函式模型》一課，學生配合默契投入，課堂氣氛和諧愉快，師生互動風落水上，自然成紋，令我感觸頗深；無獨有偶，2023年10月，溫州市高中數學青年教師課堂教學評比活動的課題之一也是《幾類不同增長的函式模型》，當時第一名獲得者蒼南中學項延行老師執教的一課也是讓聽課教師耳目一新，如沐春風，給我留下的深刻的印像。由於是兩個不同時期的教學，兩堂課的教學設計差別很大，出現了很多問題，引起了同行們的一些爭論，因此筆者重新研究課標要求、教材編寫意圖，反覆推敲兩個案例，收穫甚多。下面是筆者對這兩堂課的認識與思考，望與廣大同仁交流學習。
1 課堂引入環節的比較與評析
1.1 項老師的課堂引入
材料：「玫瑰花」懸案
公元2023年，法國元帥拿破崙參觀國立盧森堡小學時許下諾言：贈上一束價值12000法郎的玫瑰花，以表兩國的友誼，此後，由於連年的征戰，拿破崙忘記了這一諾言！時隔97年，也就是公元2023年，盧森堡王國鄭重向法國提出了「玫瑰花」懸案，要求法國兌現諾言，付給盧森堡王國136.
1萬法郎。
問題：當時盧森堡王國是怎麼算這筆帳的？（年利率5%）
生：.師（追問）：若按這種演算法，這筆賬到今天又是多少了？
生：. (注:當時是2023年)
此時學生表現出對指數效應的驚人變化的驚嘆.
1.2 張老師的課堂引入
今天老師給大家帶來兩個可愛的禮物（儲蓄罐），老師每天都向著兩個儲蓄罐裡存錢，但存錢方式不一樣。
儲蓄罐a：每天存40元；
儲蓄罐b：第一天存10元，以後每天都比前一天多存入10元。
你可以從中選乙個，你會選哪個？
生：利用一一枚舉（列表法）順利解決。
師：其實老師還有儲蓄罐，今天也拿出來送給大家，三個讓大家選，你選哪個？這個儲蓄罐的存錢方式為：第一天存入0.4元，以後每天存入的錢都比前一天翻一番。
生：列出日儲蓄量和累積儲蓄量的**，觀察資料完成選擇。
1.3 觀點與評析
項老師創設故事情境，以故事激起學生的興趣，以問題帶動學生的思維，並讓學生感受到指數效應之下，資料增加的速度驚人，借而提出本課的研究課題。反思其設計發現，此情境只強調指數**增長，雖然能給學生在「資料」上有較大的衝擊，但未能給學生學習如何研究函式的增長速度提供有效幫助，學生在課後也只對「資料」上「指數**」留有印像，與接下來要研究的例1鏈結也顯得不太自然。
張老師用與學生貼近的「選禮物」做為背景引入，不僅能充分激發學的興趣，而且把例1的題意簡潔的表達出來。此設計的關鍵是張老師先給出兩個方案，這就讓此問題具有起點低，可操作性的特點，學生很容易入手，在學生順利解決兩個方案的選擇後，再給出乙個新的「禮物」，具有一定的「衝擊力」，保持住學生思維狀態，既符合學生的認知規律，又為接下來的學習、**提供了思維基礎。
2 例1教學環節的比較與評析
2.1 項老師的教學處理
讓學生閱讀例1(略)後給出問題：
問題1：各方案每天回報的大小是多少,如何計算?
生：分析三種方案的規律，建立函式模型：
方案一:,方案二:,方案三:
問題2：根據函式模型,如何比較他們的大小?
生(在教師的幫助下): 應用計算機列出自己所列三種方案函式對應的每天回報的大小,及增量大小的excel**(略).並回答問題.
師(追問):
①根據**中所提供的資料，你對三種方案分別表現出的回報資金的增長差異有什麼認識？
②你能借助計算機或計算器作出函式圖象並通過圖象描述一下三種方案的函式學模型變化的特點嗎？
生：觀察**，獲取資訊，體會三種函式的增長差異，特別是指數**，說出自己的發現，並結合影象(如圖1)對三種方案的不同變化趨勢作出描述．
圖1問題3：根據上面的**你會選擇哪種投資方案,選擇的理由是什麼?
（有學生回答選方案3理由是方案3增長速度快）
師：引導學生分析影響方案選擇的因素，使學生認識到要做出正確選擇除了考慮每天的收益，還要考慮一段時間內的總收益．
生：要考慮投資時間，再做出選擇：投資8天以下（含8天）選方案一，8～10天選方案二，11天（含11天）選方案三。
師(追問)：通過本題的**，同學們對函式模型的增長情況有什麼體會?
生：體會到指數的**增長與直線的均勻增長。
2．2 張老師的教學處理
問題1：為什麼儲蓄罐c裡的錢會超過a和b裡的錢呢？
生:通過觀察資料**,思考發現是因為三種存錢方式的日儲蓄量增加速度不同引起的累積儲蓄量不同.
問題2：c的日儲蓄量比b的日儲蓄量增長得更快,到底有多快?你們有辦法讓老師感受到那種快的程度嗎?
生：為了能更清楚的研究它們的增長速度，可以建立三種存錢方式的函式模型，如下：
儲蓄罐a:, 儲蓄罐b:, 儲蓄罐c:，
並借助計算機做出圖象來觀察它們的變化特徵就可以了．
師：和學生一起利用＜幾何畫板＞做出三個模型的函式圖象（孤立的點），並利用動畫演示將孤立的點用曲線連線起來（如圖4）．
圖4師（追問）：你可以根據上面的動畫把三個函式模型的增長特徵描術出來嗎？
生：常數函式不增長，一次函式均勻增長，指數型函式增長得越來越快（**增長）！
問題3：增長得越來越快是什麼意思？
生：（教師提示觀察日增加量的**去發現）自變數增加相同值時，函式值增加得值越來越大．
師：利用＜幾何畫板＞動畫演示一次函式與指數函式增加量的變化情況（如圖5），引導學生小結不同函式的增長特徵，並點出本課課題．
2.3 觀點與評析
項老師通過問題1來引導學生討論歸納出函式模型，也為下面進一步分析模型做鋪墊。問題2啟發學生利用函式的另外兩種表式方法：**與圖象（學生原有認知）進行研究，特別是利用圖象的特徵描述出三種函式模型的變化特點，從而得出「指數**」、「直線增長」這些感性化的詞彙。
這兩個問題的設計符合學生的認知規律，緊扣思想方法，教師的適時引導與及時追問體現了教師主導與學生主體課堂理念，在當時（05年，浙江省還沒有實施新課程改革）確實讓聽課教師在教學理念上的有了一次衝擊與重新整理。可惜問題3的處理筆者以為，項老師沒能跳出教材的束縛，把方案的選擇（一種結果）留在最後，其實選擇方案不是目的，而且只要列出日增長量與累積增長量的**便能解決，這樣的處理無意中淡化了本節課的重點：將實際問題轉化為函式模型，比較幾類函式模型的增長差異，體會直線上公升、指數**等不同函式型別的增長的含義（一種過程）。
張老師的教學中，由於在情境引入環節，學生已經通過列表完成方案的選擇（結果），因此，這裡環節張老師通過問題1引導學生體會三種存錢方式的增長速度不同，其實是日儲蓄量增加的速度不同引起的，這給接下來研究日儲蓄量與天數之間的關係埋下伏筆，從而自然的進入對本節課的主題；問題2啟發學生思考如果想更全面的研究日儲蓄量的增長特徵，則需要建立函式模型，通過對函式的研究（利用圖象研究函式的方法是學生已有的知識，符合學生的認識規律）來體驗增長速度的變化，並且通過追問讓學生自己去概括、總結從圖形上直觀觀察到的增長特徵，是乙個讓學生經歷從具體到抽象的數學建模的過程，堅扣本節課的重點（過程）。而問題3的設計更是本節課的乙個亮點，不僅能讓學生對增長速度快慢的體會更深刻，而且讓學生初步體會數學中如何描述增長的「快」與
「慢」，為今後學習平均變化率與導數學打下基礎，這裡也體現出了張老師的「用教材教」而不是「教教材」教材處理觀。
3 例2教學環節的比較與評析
3.1 項老師的教學處理
與學生一起閱讀例2(略)後給出問題：
問題1：本例涉及了哪幾類函式模型？它們的增長變化情況怎樣?
生：有三種函式模型:一次函式、指數函式、對數函式，一次函式直線增長、指數函式快速（**）增長……（多數同學表現對對數學函式學模型增長變化情況存在疑點）
問題2：符合公司要求的模型有什麼條件,如何用數學式子表達?
生：要對每乙個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元，以及獎勵比例是否超過25%進行分析，才能做出正確選擇即(，，)
問題3：那如何判斷它們是否滿足條件呢?
生：先通過計算發現只有在,滿足,再判斷在,時,是否成立.
師: 如何判斷?
（此時大部分學生均表現出疑惑，但仍在繼續思考）幾分鐘後，
師：（提示）那你會判斷是在,是否成立嗎？
生：令，若能知道的單調性就能判斷了。
師：好，那我們不妨一起利用《幾何畫板》畫一下函式的圖象（如圖2）看一下的單調性如何。
圖2生：由圖象可知它在,遞減，只需驗證即可。
（此時學生的臉上都露出了成功的喜悅）
接著教師趁熱打鐵繼續引導學生分析三種函式的不同增長情況對於獎勵模型的影響，使學生明確問題的實質就是比較三個函式的增長情況．並借助計算機作出三個模型的函式圖象（如圖3），對三個模型的增長情況進行分析比較，分析資料特點判定每乙個獎勵模型是否符合要求，並讓學生體會到對數模型平緩增長的特徵。
圖33.2 張老師的教學處理
過渡語：從這個「小儲蓄」的問題中，我們體會到了三種不同函式模型的增長特徵，也學到了解決實際問題的一些方法。n年後，我們從「小儲蓄」發展到「大投資」了，我們擁有了自己的公司，你能用今天學到的方法解決你公司裡的乙個問題嗎？
例2：公司獎勵模型問題
問題1：你能用數學關係描述公司要求嗎？
生：（1）允許獎勵的利潤範圍：
（2）獎金隨利潤的增加而增加；（在定義域內是增函式）
（3）獎金總數不超過五萬；（）
（4）獎金不超過利潤的25%；（）
問題2：如何驗證？
生：利用計算器計算可知，或者做出函式圖象觀察亦可。
師：利用《幾何畫板》做出函式圖象（如圖2），並引導學生利用圖象特徵回答問題。
問題3：如何驗證？
生：觀察函式的圖象與函式的圖象，發規在，時好像都滿足。
師：為什麼是「好像」？
生：圖象看不太清楚，需要把圖象放大一點。
師：將圖象放大後讓學生觀察，和學生一起發規滿足條件。
師：還有其它方法嗎？
生：（思考片刻後）只需要將代入計算，是符合條件的。
師：為什麼代就能說明當，時都滿足呢？
生：因為可以發現兩個函式的增長速度不同，直線的增長比對數函式快，當自變數越大時，差距反而越來越大。
師（追問）：你能更確切的描述一下對數函式的增長特徵嗎？
生：先是增長得較快，後來增長得越來越緩慢。
（下課鈴聲響了……）
3.3 觀點與評析
項老師的問題1旨在讓學生回顧前面的體會，希望緊扣本課的核心內容：函式模型的增長特徵，也是為接下來的**做好鋪墊。問題2是乙個培養學生從實際問題中抽象出數學關係（數學化）的過程，但放在問題1後面，反而中斷了學生的思維，也淡化了問題1的直接作用，這也是學生在思考問題3時不能回歸到函式模型的增長特徵去判斷的主要原因，筆者以為，將問題2與問題1的順序互換會讓學生思維更流暢，又能緊扣本課的核心，為問題3的解決提供了方法。
在問題3的處理上，項老師通過及時的啟發、引導，很好的突然破了本節課的乙個難點（建構函式對高一學生來說會有困難），又讓學生體會到了成功的喜悅，是本節課的乙個亮點，充分體現了關注學生發展的課堂教學理念。
幾類不同增長的函式模型
高一數學 sx 10 01 028 幾類不同增長的函式模型 導學案 編寫人 任光軍審核人 曹煉忠編寫時間 2010年10月30日 姓名 班級組別組名 學習目標 1.借助資訊科技 利用函式的影象及資料 比較一次函式 指數函式 對數函式的增長差異。2.恰當運用函式的三種表示解決一些實際問題。3.讓學生體...
幾類不同增長的函式模型 第一課時
教學目標 嘗試從實際問題中建構出數學問題的技能 通過三種表示方法的恰當運用，認識函式問題的研究方法 體驗用簡單的函式模型解決實際問題的經歷 結合例項體會直線上公升，指數 等不同函式模型的增長差異 讓學生經歷建立和運用函式模型的過程，初步體驗數學建模的基本思想.教學重點 認識常函式 一次函式 指數函式...
關於反函式幾類問題的解答
反函式及互為反函式影象的關係是中學數學教學中的重點難點之一，本文將討論反函式教學中的幾類問題的解答。一 象 與 原象 的問題 根據反函式定義，函式y f x 與y f 1 x 中的自變數和函式處在一種對換的關係。即函式y f x 表示定義域a中的元素x0 即原象 在 f 的作用下得到值域c中的元素y...