特殊四邊形證明及計算提高練習
平行四邊形
1．（2012威海）（1）如圖①，abcd的對角線ac，bd交於點o，直線ef過點o，分別交ad，bc於點e，f．
求證：ae=cf．
（2）如圖②，將abcd（紙片）沿過對角線交點o的直線ef摺疊，點a落在點a1處，點b落在點b1處，設fb1交cd於點g，a1b1分別交cd，de於點h，i．
求證：ei=fg．
2．（2011貴陽）[閱讀]
在平面直角座標系中，以任意兩點p（ x1，y1）、q（x2，y2）為端點的線段中點座標為．
[運用]
（1）如圖，矩形onef的對角線相交於點m，on、of分別在x軸和y軸上，o為座標原點，點e的座標為（4，3），則點m的座標為
（2）在直角座標系中，有a（﹣1，2），b（3，1），c（1，4）三點，另有一點d與點a、b、c構成平行四邊形的頂點，求點d的座標．
3．（2007黑龍江）在△abc中，ab=ac，點p為△abc所在平面內一點，過點p分別作pe∥ac交ab於點e，pf∥ab交bc於點d，交ac於點f．若點p在bc邊上（如圖1），此時pd=0，可得結論：pd+pe+pf=ab．
請直接應用上述資訊解決下列問題：
當點p分別在△abc內（如圖2），△abc外（如圖3）時，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，pd，pe，pf與ab之間又有怎樣的數量關係，請寫出你的猜想，不需要證明．
4．（2006泰安）如圖，矩形abcd的對角線交於點o，ae⊥bd，cf⊥bd，垂足分別為e，f，連線af，ce．
（1）求證：四邊形aecf是平行四邊形；
（2）若∠bad的平分線與fc的延長線交於點g，則△acg是等腰三角形嗎？並說明理由．
5．（2006陝西）如圖，在rt△abc中，∠bac=90°，e，f分別是bc，ac的中點，延長ba到點d，使ad=ab．連線de，df．
（1）求證：af與de互相平分；
（2）若bc=4，求df的長．
6．如圖，以△abc三邊為邊在bc同側作三個等邊△abd、△bce、△acf．請回答下列問題：
（1）求證：四邊形adef是平行四邊形；（2）當△abc滿足什麼條件時，四邊形adef是矩形． 菱形
7．（2010盤錦）如圖，△abc是等邊三角形，點d是邊bc上的一點，以ad為邊作等邊△ade，過點c作cf∥de交ab於點f．
（1）若點d是bc邊的中點（如圖①），求證：ef=cd；
（2）在（1）的條件下直接寫出△aef和△abc的面積比；
（3）若點d是bc邊上的任意一點（除b、c外如圖②），那麼（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
8．（2011海南）如圖，在菱形abcd中，∠a=60°，點p、q分別在邊ab、bc上，且ap=bq．
（1）求證：△bdq≌△adp；
（2）已知ad=3，ap=2，求cos∠bpq的值（結果保留根號）．
9．（2009龍巖）在邊長為6的菱形abcd中，動點m從點a出發，沿abc向終點c運動，連線dm交ac於點n．
（1）如圖1，當點m在ab邊上時，連線bn：
①求證：△abn≌△adn；
②若∠abc=60°，am=4，∠abn=α，求點m到ad的距離及tanα的值．
（2）如圖2，若∠abc=90°，記點m運動所經過的路程為x（6≤x≤12）．試問：x為何值時，△adn為等腰三角形．
10．（2007常德）如圖1，已知四邊形abcd是菱形，g是線段cd上的任意一點時，連線bg交ac於f，過f作fh∥cd交bc於h，可以證明結論成立．（考生不必證明）
（1）**：如圖2，上述條件中，若g在cd的延長線上，其它條件不變時，其結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（2）計算：若菱形abcd中ab=6，∠adc=60°，g在直線cd上，且cg=16，連線bg交ac所在的直線於f，過f作fh∥cd交bc所在的直線於h，求bg與fg的長．
（3）發現：通過上述過程，你發現g在直線cd上時，結論還成立嗎？
11．（2001河北）如圖，在菱形abcd中，ab=10，∠bad=60度．點m從點a以每秒1個單位長的速度沿著ad邊向點d移動；設點m移動的時間為t秒（0≤t≤10）．
（1）點n為bc邊上任意一點，在點m移動過程中，線段mn是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分並說明理由；
（2）點n從點b（與點m出發的時刻相同）以每秒2個單位長的速度沿著bc邊向點c移動，在什麼時刻，梯形abnm的面積最大並求出面積的最大值；
（3）點n從點b（與點m出發的時刻相同）以每秒a（a≥2）個單位長的速度沿著射線bc方向（可以超越c點）移動，過點m作mp∥ab，交bc於點p．當△mpn≌△abc時，設△mpn與菱形abcd重疊部分的面積為s，求出用t表示s的關係式，井求當s=0時的值． 矩形
12．（2002無錫）已知：如圖，矩形abcd中，ab=2，ad=3，e、f分別是ab、cd的中點．
（1）在邊ad上取一點m，使點a關於bm的對稱點c恰好落在ef上．設bm與ef相交於點n，求證：四邊形angm是菱形；
（2）設p是ad上一點，∠pfb=3∠fbc，求線段ap的長．
13．如圖，在下列矩形abcd中，已知：ab=a，bc=b（a＜b），假定頂點在矩形邊上的菱形叫做矩形的內接菱形，現給出三個命題：
命題（ⅰ）：圖①中，若ah=bg=ab，則四邊形abgh是矩形abcd的內接菱形；
命題（ⅱ）：圖②中，若點e、f、g和h分別是ab、bc、cd和de的中點，則四邊形efgh是矩形abcd的內接菱形；
命題（ⅲ）：圖③中，若ef垂直平分對角線ac，變bc於點e，交ad於點f，交ac於點o，則四邊形aecf是矩形abcd的內接菱形．
請解決下列問題：
（1）命題都是真命題嗎？請你在其中選擇乙個，並證明它是真命題或假命題；
（2）畫出乙個新的矩形內接菱形（即與你在（1）中所確認的，但不全等的內接菱形）．
（3）試**比較圖①，②，③中的四邊形abgh、efgh、aecf的面積大小關係．
14．在平行四邊形abcd中，∠bad的平分線交直線bc於點e，交直線dc的延長線於點f，以ec、cf為鄰邊作平行四邊形ecfg．
（1）如圖1，證明平行四邊形ecfg為菱形；
（2）如圖2，若∠abc=90°，m是ef的中點，求∠bdm的度數；
（3）如圖3，若∠abc=120°，請直接寫出∠bdg的度數．
15．如圖1，在△abc中，ab=bc=5，ac=6．△ecd是△abc沿bc方向平移得到的，連線ae、ac和be相交於點o．
（1）判斷四邊形abce是怎樣的四邊形，說明理由；
（2）如圖2，p是線段bc上一動點（圖2），（不與點b、c重合），連線po並延長交線段ae於點q，qr⊥bd，垂足為點r．四邊形pqed的面積是否隨點p的運動而發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形pqed的面積．
16．（2011清遠）如圖，在矩形abcd中，e是bc邊上的點，ae=bc，df⊥ae，垂足為f，連線de．
（1）求證：ab=df；
（2）若ad=10，ab=6，求tan∠edf的值．
17．（2010大慶）已知：如圖①，正方形abcd與矩形defg的邊ad、de在同一直線l上，點g在cd上．正方形abcd的邊長為a，矩形defg的長de為b，寬dg為3（其中a＞b＞3）．若矩形defg沿直線l向左以每秒1個單位的長度的速度運動（點d、e始終在直線l上）．若矩形defg在運動過程中與正方形abcd的重疊部分的面積記作s，運動時間記為t秒（0≤t≤m），其中s與t的函式圖象如圖②所示．矩形defg的頂點經運動後的對應點分別記作d′、e′、f′、g′．
（1）根據題目所提供的資訊，可求得bam
（2）連線ag′、cf′，設以ag′和cf′為邊的兩個正方形的面積之和為y，求當0≤t≤5時，y與時間t之間的函式關係式，並求出y的最小值以及y取最小值時t的值；
（3）如圖③，這是在矩形defg運動過程中，直線ag′第一次與直線cf′垂直的情形，求此時t的值．並**：在矩形defg繼續運動的過程中，直線ag′與直線cf′是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，請畫出圖形，並求出t的值；否則，請說明理由．
18．（2005淮安）已知：平行四邊形abcd的對角線交點為o，點e、f分別在邊ab、cd上，分別沿de、bf摺疊四邊形abcd，a、c兩點恰好都落在o點處，且四邊形debf為菱形（如圖）．
（1）求證：四邊形abcd是矩形；
（2）在四邊形abcd中，求的值．
19．如圖，已知矩形abcd，ad=4，cd=10，p是ab上一動點，m、n、e分別是pd、pc、cd的中點．
（1）求證：四邊形pmen是平行四邊形；
（2）請直接寫出當ap為何值時，四邊形pmen是菱形；
（3）四邊形pmen有可能是矩形嗎？若有可能，求出ap的長；若不可能，請說明理由．
20．如圖：矩形abcd中，ab=2，bc=5，e、p分別在ad、bc上，且de=bp=1．
（1）判斷△bec的形狀，並說明理由？
（2）判斷四邊形efph是什麼特殊四邊形？並證明你的判斷；
（3）求四邊形efph的面積．
正方形21．（2012黑龍江）在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，若點d**段bc上，以ad為邊長作正方形adef，如圖1，易證：∠afc=∠acb+∠dac；
（1）若點d在bc延長線上，其他條件不變，寫出∠afc、∠acb、∠dac的關係，並結合圖2給出證明；
（2）若點d在cb延長線上，其他條件不變，直接寫出∠afc、∠acb、∠dac的關係式．
22．（2012常德）已知四邊形abcd是正方形，o為正方形對角線的交點，一動點p從b開始，沿射線bc運動，連線dp，作cn⊥dp於點m，且交直線ab於點n，連線op，on．（當p**段bc上時，如圖1：當p在bc的延長線上時，如圖2）
中考特殊四邊形證明及計算提高練習
平行四邊形 1 2012威海 1 如圖 abcd的對角線ac，bd交於點o，直線ef過點o，分別交ad，bc於點e，f 求證 ae cf 2 如圖 將abcd 紙片 沿過對角線交點o的直線ef摺疊，點a落在點a1處，點b落在點b1處，設fb1交cd於點g，a1b1分別交cd，de於點h，i 求證 e...
四邊形證明及計算提高練習
平行四邊形 1 2012威海 1 如圖 abcd的對角線ac，bd交於點o，直線ef過點o，分別交ad，bc於點e，f 求證 ae cf 2 如圖 將abcd 紙片 沿過對角線交點o的直線ef摺疊，點a落在點a1處，點b落在點b1處，設fb1交cd於點g，a1b1分別交cd，de於點h，i 求證 e...
特殊四邊形的計算和證明 四
46如圖，在 abc中，點o是ac邊上的一動點，過點o作直線mn bc，mn交 bca的平分線於點e，交 bca的外角平分線於點f。1 求證 eo fo 2 當點o運動到何處時，四邊形aecf是矩形？證明你的結論 3 說明，當點o運動到何處時，且 abc具備什麼條件時，四邊形aecf是正方形 不證明...