第一講相似三角形的判定及有關性質
1．平行截割定理
(1)平行線等分線段定理
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等．
(2)平行線分線段成比例定理
①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
②推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例．
2．相似三角形的判定與性質
(1)相似三角形的判定定理
①兩角對應相等的兩個三角形相似．
②兩邊對應成比例並且夾角相等的兩個三角形相似．
③三邊對應成比例的兩個三角形相似．
(2)相似三角形的性質定理
①相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比．
②相似三角形周長的比等於相似比．
③相似三角形面積的比等於相似比的平方．
3．直角三角形的射影定理
直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；
兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項．
如圖，在rt△abc中，cd是斜邊上的高，
則有cd2＝ad·bd，ac2＝ad·ab，bc2＝bd·ab.
第二講直線與圓的位置關係
1．圓周角定理與圓心角定理
(1)圓周角定理及其推論
①定理：圓上一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半．
②推論：(i)推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．
(ii)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．
(2)圓心角定理：圓心角的度數等於它所對弧的度數．
2．弦切角的性質
弦切角定理：弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角．
3．圓的切線的性質及判定定理
(1)定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑．
(2)推論：
①推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點．
②推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．
4．與圓有關的比例線段：圓冪定理
5.圓內接四邊形的性質與判定定理
(1)圓內接四邊形的性質定理
①定理1：圓內接四邊形的對角互補．
②定理2：圓內接四邊形的外角等於它的內角的對角．
(2)圓內接四邊形的判定定理及推論
①判定定理：如果乙個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形的四個頂點共圓．
推論：共底邊的兩個三角形頂角相等，且在底邊同側，則四點共圓.
②推論：如果四邊形的乙個外角等於它的內角的對角，那麼這個四邊形的四個頂點共圓．
【題組一】
1.(2014·茂名模擬)如圖，已知ab∥ef∥cd，若ab＝4，cd＝12，
則ef2. (2014·湛江模擬)如圖，在△abc中，d是ac的中點，e是bd的中點，ae交於bc於f，則
3. 如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，ab＝4，cd＝2.e，f分別為ad，bc上的點，且ef＝3，ef∥ab，則梯形abfe與梯形efcd的面積比為________．
4. (2013·陝西卷)如圖，ab與cd相交於點e，過e作bc的平行線與ad的延長線交於點p，
已知∠a＝∠c，pd＝2da＝2，則pe
5. 如圖，在rt△abc中，∠acb＝90°，cd⊥ab，
e為ac的中點，ed、cb延長線交於一點f.
求證：fd2＝fb·fc.
6．(2013·廣東卷)如圖，在矩形abcd中，ab＝，bc＝3，be⊥ac，
垂足為e，則ed
7.如圖，在等腰梯形abcd中，ad∥bc，ab＝dc，過點d作ac的平行線de，交ba的延長線於點e，求證：
(1)△abc≌△dcb； (2)de·dc＝ae·bd.
【題組二】
1.如圖，△abc中，∠c＝90°，ab＝10，ac＝6，以ac為直徑的圓與斜邊交於點p，則bp長為________．
2. (2014·廣州調研)如圖，四邊形abcd內接於⊙o，bc是直徑，
mn與⊙o相切，切點為a，∠mab＝35°，則∠d
3.(2013·天津卷)如圖，△abc為圓的內接三角形，bd為圓的弦，且bd∥ac.過點a作圓的切線與db的延長線交於點e，ad與bc交於點f.若ab＝ac，ae＝6，
bd＝5，則線段cf的長為________．
4．(2012·廣東卷)如圖，圓o的半徑為1，a，b，c是圓周上的三點，滿足∠abc＝30°，過點a做圓o的切線與oc的延長線交於點p，則pa
5．(2013·湖南卷)如圖，在半徑為的⊙o中，弦ab，cd相交於點p，
pa＝pb＝2，pd＝1，則圓心o到弦cd的距離為________．
6.(2013·重慶卷)如圖，在△abc中，∠acb＝90°，∠a＝60°，ab＝20，過c作△abc的外接圓的切線cd，bd⊥cd，bd與外接圓交於點e，則de的長為________．
7.如圖所示，⊙o的直徑為6，ab為⊙o的直徑，c為圓周上一點，bc＝3，過c作圓的切線l，過a作l的垂線ad，ad分別與直線l、圓交於d、e.
(1)求∠dac的度數； (2)求線段ae的長．
《幾何證明選講》綜合訓練
班別姓名學號
1.如圖，已知ab和ac是圓的兩條弦，過點b作圓的切線與ac的延長線相交於點d.過點c作bd的平行線與圓相交於點e，與ab相交於點f，af＝3，fb＝1，ef＝，則線段cd的長為________．
2．（11，廣東理）如圖，過圓o外一點p分別作圓的切線和割線交圓於a，b，且pb＝7，c是圓上一點使得bc＝5，∠bac＝∠apb，則ab
3．（13，廣東理）如圖，ab是圓o的直徑，點c在圓o上．延長bc到d使bc＝cd，過c作圓o的切線交ad於e.若ab＝6，ed＝2，則bc
4．（13，湖北理）如圖，圓o上一點c在直徑ab上的射影為d，點d在半徑oc上的射影為e.若ab＝3ad，則的值為________．
5．（13，天津理）如圖， △abc為圓的內接三角形， bd為圓的弦， 且bd∥ac. 過點a作圓的切線與db的延長線交於點e，ad與bc交於點f.若ab＝ac，ae＝6，bd＝ 5，則線段cf的長為________．
6.如圖，pa切⊙o於點a，割線pbc交⊙o於點b，c，∠apc的角平分線分別與ab、ac相交於點d、e，求證：
(1)ad＝ae； (2)ad2＝db·ec.
7.如圖，已知ap是⊙o的切線，p為切點，ac是⊙o的割線，與⊙o交於b、c兩點，圓心o在∠pac的內部，點m是bc的中點．
(1)證明：a、p、o、m四點共圓； (2)求∠oam＋∠apm的大小．
8．（12，新課標1）如圖，d，e分別為△abc邊ab，ac的中點，
直線de交△abc的外接圓於f，g兩點．若cf∥ab，證明：
(1)cd＝bc； (2)△bcd∽△gbd.
9．（12，新課標2）如圖，d，e分別為△abc的邊ab，ac上的點，且不與△abc的頂點重合．已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程x2－14x＋mn＝0的兩個根．
(1)證明：c，b，d，e四點共圓；
(2)若∠a＝90°，且m＝4，n＝6，求c，b，d，e所在圓的半徑．
10.(13，新課標1)如圖，直線ab為圓的切線，切點為b，點c在圓上，
∠abc的角平分線be交圓於點e，db垂直be交圓於點d.
(1)證明：db＝dc；
(2)設圓的半徑為1，bc＝，延長ce交ab於點f，求△bcf外接圓的半徑．
11. (13，新課標2)如圖，cd為△abc外接圓的切線，ab的延長線交直線cd於點d，e，f分別為弦ab與弦ac上的點，且bc·ae＝dc·af，b，e，f，c四點共圓．
(1)證明：ca是△abc外接圓的直徑；
(2)若db＝be＝ea，求過b，e，f，c四點的圓的面積與△abc外接圓面積的比值．
12．(14，新課標1)如圖，四邊形abcd是⊙o的內接四邊形，ab的延長線與dc的延長線交於點e，且cb＝ce.
(1)證明：∠d＝∠e；
(2)設ad不是⊙o的直徑，ad的中點為m，且mb＝mc，證明：△ade為等邊三角形．
13．(14年新課標2)如圖，p是⊙o外一點，pa是切線，a為切點，割線pbc與⊙o相交於點b，c，pc＝2pa，d為pc的中點，ad的延長線交⊙o於點e.
證明：(1)be＝ec； (2)ad·de＝2pb2.
14.如圖，ab是圓o的直徑，ac是弦，∠bac的平分線ad交圓o於點d，de⊥ac，交ac的延長線於點e，oe交ad於點f.
(1)求證：de是圓o的切線； (2)若＝，求的值．
15．（11，遼寧理）如圖，a，b，c，d四點在同一圓上，ad的延長線與bc的延長線交於e點，且ec＝ed.
(1)證明：cd∥ab；
(2)延長cd到f，延長dc到g，使得ef＝eg，
證明：a，b，g，f四點共圓．
16．（12，遼寧理）如圖，⊙o和⊙o′相交於a，b兩點，過a作兩圓的切線分別交兩圓於c，d兩點，鏈結db並延長交⊙o於點e.證明：
17．（13，遼寧理）如圖，ab為⊙o的直徑，直線cd與⊙o相切於e，ad垂直cd於d，bc垂直cd於c，ef垂直ab於f，連線ae，be.證明：
(1)∠feb＝∠ceb2)ef2＝ad·bc.
18. (14，遼寧理)如圖，ep交圓於e，c兩點，pd切圓於d，g為ce上一點且pg＝pd，連線dg並延長交圓於點a，作弦ab垂直ep，垂足f.
(1)求證：ab為圓的直徑； (2)若ac＝bd，求證：ab＝ed.
19．（11，江蘇）如圖，圓o1與圓o2內切於點a，其半徑分別為r1與r2(r1＞r2)．圓o1的弦ab交圓o2於點c(o1不在ab上)．求證：ab∶ac為定值．
參考解答
【題組一】
1.(2014·茂名模擬)如圖，已知ab∥ef∥cd，若ab＝4，cd＝12，
則ef解析 ∵ab∥cd∥ef
幾何證明選講學案 2
高三數學學案 幾何證明選講 2 2011.9.6 一 基礎知識梳理 1 圓心角定理 圓心角的度數等於的度數.p24 圓周角定理 圓上一條弧所對的圓周角等於它所對的的一半.推論1 同弧或等弧所對的圓周角同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧 推論2 半圓 或直徑 所對的圓周角是 90o的圓周角所對的弦是 ...
幾何證明選講學生版
選修4 1 幾何證明選講 練習題 一 選擇題 本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.如圖4所示,圓o的直徑ab 6,c為圓周上一點,bc 3過c作 圓的切線l,過a作l的垂線ad,垂足為d,則 dac abcd.2.在中,分別是斜邊上的高和中...
學案74幾何證明選講
二 直線與圓的位置關係 導學目標 1.理解圓周角定理，弦切角定理及其推論 2.理解圓的切線的判定及性質定理 3.理解相交弦定理，割線定理，切割線定理 4.理解圓內接四邊形的性質定理及判定 自主梳理 1 圓周角 弦切角及圓心角定理 1的度數等於其的對 的度數的一半 推論1或 所對的圓周角相等 同圓或等...