1.構造法證明不等式
在學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，多種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發，構造乙個與不等式相關的數學模型，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。
一、構造向量證明不等式
例1：證明，並指出等號成立的條件。
證明：不等式左邊可看成與 x 和與兩兩乘積的和，從而聯想到數量積的座標表示，
將左邊看成向量a=(,)與b=( x,)的數量積，
又，所以
當且僅當時等號成立，故由
解得：x=,λ=1，即 x =時，等號成立。
例2：求證：
證明：不等式左邊的特點，使我們容易聯想到空間向量模的座標表示，
將左邊看成模的平方，
又，為使為常數，根據待定係數法又可構造。
於是|a|·|b|=
a·b＝所以即
二、構造複數證明不等式
例3、求證：
證明：從不等式左邊的結構特點容易聯想到複數的模，
將左邊看成複數z1=x+y i , z2 = x +（1－ y）i ，z3 = 1－ x + y i ，z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，
又注意到z1＋z2＋z3＋z4＝2＋2 i ，於是由＋＋＋≥可得：
注：此題也可構造向量來證明。
三、構造幾何圖形證明不等式
例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：，當且僅當時取等號。
證明：從三個根式的結構特點容易聯想到餘弦定理，於是可構造如下圖形，
使oa＝a，ob＝b，oc＝c，∠aob=∠boc=60° 如圖（1），
則∠aoc＝120°，ab=，bc=,ac
由幾何知識可知：ab＋bc≥ac，∴+≥
當且僅當a、b、c三點共線時等號成立，此時有
，即ab+bc=ac
故當且僅當時取等號。
四、構造橢圓證明不等式
例5：求證：
證明：的結構特點，使我們聯想到橢圓方程及數形結合思想。
於是令，則其圖象是橢圓的上半部分，
設y-2x=m，於是只需證,
因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截距，由圖（2）可知：
當直線 y = 2 x＋m 過點（，0）時，m有最小值為m=；
當直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。
由得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0
令△= 4（52－9m2）=0 得：或（捨去）
即m的最大值為，故，即
五、構造方程證明不等式
例6：設 a1、a2、…an 為任意正數，證明對任意正整數n不等式(a1 + a2 + … + an)2 ≤ n ( a12 + a22 + … + an2 )均成立
證明：原不等式即為 4 (a1 + a2 + … + an)2－4n ( a12 + a22 + … + an2 ) ≤ 0
由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：
( a12 + a22 + … + an2 ) x 2 + 2 (a1 + a2 + … + an ) x + n=0 （＊）
因方程左邊＝ (a1 x + 1)2 + (a2 x + 1)2 + … ＋ (an x + 1)2 ≥ 0
當a1、a2、…an不全相等時，a1 x+1、a2 x+1、…an x+1至少有乙個不為0，
方程（＊）左邊恒為正數，方程（＊）顯然無解。
當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝
故△＝4 ( a1 + a2 + … + an )2 － 4n ( a12 + a22 + … + an2 ) ≤ 0
即(a1 + a2 + … +an )2 ≤ n ( a12 + a22 + … + an2 ) 對任意正整數n均成立
六、構造數列證明不等式
例7：求證：cn1+cn2+…+cnn >
證明：不等式左邊為 2n －1=從而聯想到等比數列的求和公式，
於是左邊=1+2+22+…+ 2 n－1= [(1+2n-1) + (2+2n-2) + … (2n-1+1)≥·n·=
例8：設任意實數a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1，求證：
證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯想到無窮等比數列（| q | < 1）各項和公式s＝，
則： =（1 + a2 + a4 + …）+（1 + b2 + b4 + …）
=2+（a2 + b2）+ ( a4 + b4) + …
≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =
七、建構函式證明不等式
例9：已知 | a | < 1，| b | < 1，| c | < 1 ，求證：ab＋bc＋ca＞－1
證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①
將a看作自變數，於是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數。
因而可建構函式 f ( a ) = ( b + c ) a + bc +1 (－1＜a＜1)
若b + c = 0原不等式顯然成立。
若b + c ≠0，則f ( a ) 是a的一次函式，f ( a ) 在（－1,1）上為單調函式
而 f ( -1 ) =－b－c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0
f ( 1 )＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0
∴f ( a ) ＞0 即ab＋bc＋ca＞－1
此題還可由題設構造不等式：（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0
1－a）（1－b）（1－c）＞0
兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1
八、構造對偶式證明不等式
例10：對任意自然數n，求證：(1+1)(1+)…(1+) >
證明：設an = (1+1)(1+)…(1+) =··…·
構造對偶式：bn =··…·，cn =··…·
，，即an > bn，an > cn，∴> an bn cn
∴an >，即：(1+1)(1+)…(1+) >
2.放縮法證明不等式
近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的乙個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。 「放縮法」它可以和很多知識內容結合，對應變能力有較高的要求。因為放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往要從證明的結論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。
1、新增或捨棄一些正項（或負項）
例1、已知求證：
證明：若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得到化簡.
2、先放縮再求和（或先求和再放縮）
例2、函式f（x）=，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.
證明：由f(n)= =1-
得f（1）+f（2）+…+f（n）>
.此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特徵, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和. 若分子, 分母如果同時存在變數時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對於分子分母均取正值的分式。
如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。
3、先放縮，後裂項（或先裂項再放縮）
例3、已知an=n ，求證： ＜3．
證明： =＜1＋
＜１＋=
=1＋ (－)
=1＋1＋－－＜2＋＜3．
本題先採用減小分母的兩次放縮，再裂項，最後又放縮，有的放矢，直達目標.
4、放大或縮小「因式」；
例4、已知數列滿足求證：
證明：本題通過對因式放大，而得到乙個容易求和的式子，最終得出證明.
5、逐項放大或縮小
例5、設求證：
證明：∵
∴， ∴
本題利用，對中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。
6、固定一部分項，放縮另外的項；
例6、求證：
證明：此題採用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。
7、利用基本不等式放縮
例7、已知，證明：不等式對任何正整數都成立.
證明：要證，只要證.
因為，，
故只要證，
即只要證.
因為，所以命題得證.
本題通過化簡整理之後，再利用基本不等式由放大即可。
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