知難而上鑄造輝煌
1、已知在梯形abcd 中，ad ∥bc ，∠d=90°，be ⊥ac ，e 為垂足，ac=bc ．
（1）求證：cd=be ；
（2）若ad=3，dc=4，求ae ．
2、如圖，在梯形abcd 中，ad ∥bc ，ab ⊥ac ，∠b=45°，ad=1，bc=4，求dc
的長．3、已知梯形abcd 中，ad ∥bc ，ab=bc=dc ，點e 、f 分別在ad 、ab 上，且
．（1）求證：bf=ef ﹣ed ；
（2）連線ac ，若∠b=80°，∠dec=70°，求∠acf
的度數．4、如圖，梯形abcd 中，ad ∥bc ，點e 在bc 上，ae=be ，且af ⊥ab ，連線ef ．
（1）若ef ⊥af ，af=4，ab=6，求ae 的長．
（2）若點f 是cd 的中點，求證：ce=be ﹣ad
．5、如圖，四邊形abcd為等腰梯形，ad∥bc，ab=cd，對角線ac、bd交於點o，且ac⊥bd，dh⊥bc．（1）求證：dh=（ad+bc）；
（2）若ac=6，求梯形abcd的面積．
6、已知，如圖，△abc是等邊三角形，過ac邊上的點d作dg∥bc，交ab於點g，在gd的延長線上取點e，使de=dc，連線ae，bd．
（1）求證：△age≌△dab；
（2）過點e作ef∥db，交bc於點f，連af，求∠afe的度數．
7、如圖，梯形abcd中，ad∥bc，de=ec，ef∥ab交bc於點f，ef=ec，連線df．
（1）試說明梯形abcd是等腰梯形；
（2）若ad=1，bc=3，dc=，試判斷△dcf的形狀；
（3）在條件（2）下，射線bc上是否存在一點p，使△pcd是等腰三角形，若存在，請直接寫出pb的長；若不存在，請說明理由．
8、如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=∠bcd=60°，ad=dc，e、f分別在ad、dc的延長線上，且de=cf．af交be於p．
（1）證明：△abe≌△daf；
（2）求∠bpf的度數．
參***
1、如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，∠d=90°，be⊥ac，e為垂足，ac=bc．
（1）求證：cd=be；
（2）若ad=3，dc=4，求ae．
（1）證明：∵ad∥bc，
∴∠dac=∠bce，而be⊥ac，
∴∠d=∠bec=90°，ac=bc，
∴△bce≌△cad．
∴cd=be．
（2）解：在rt△adc中，根據勾股定理得ac==5，
∵△bce≌△cad，
∴ce=ad=3．
∴ae=ac﹣ce=2．
2、如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥ac，∠b=45°，ad=1，bc=4，求dc的長．
解：如圖，過點d作df∥ab，分別交ac，bc於點e，f．（1分）
∵ab⊥ac，
∴∠aed=∠bac=90度．
∵ad∥bc，
∴∠dae=180°﹣∠b﹣∠bac=45度．
在rt△abc中，∠bac=90°，∠b=45°，bc=4，∴ac=bcsin45°=4×=2（2分）
在rt△ade中，∠aed=90°，∠dae=45°，ad=1，∴de=ae=．∴ce=ac﹣ae=．（4分）在rt△dec中，∠ced=90°，∴dc==．（5分）
3、已知梯形abcd中，ad∥bc，ab=bc=dc，點e、f分別在ad、ab上，且．
（1）求證：bf=ef﹣ed；
（2）連線ac，若∠b=80°，∠dec=70°，求∠acf的度數．
證明：∵fc=f′c，ec=ec，∠ecf'=∠bcf+∠dce=∠ecf，
∴△fce≌△f′ce，
∴ef′=ef=df′+ed，
∴bf=ef﹣ed；
（2）解：∵ab=bc，∠b=80°，
∴∠acb=50°，
由（1）得∠fec=∠dec=70°，
∴∠ecb=70°，
而∠b=∠bcd=80°，
∴∠dce=10°，
∴∠bcf=30°，
∴∠acf=∠bca﹣∠bcf=20°．
4、如圖，梯形abcd中，ad∥bc，點e在bc上，ae=be，且af⊥ab，連線ef．（1）若ef⊥af，af=4，ab=6，求ae的長．
（2）若點f是cd的中點，求證：ce=be﹣ad．
解：（1）作em⊥ab，交ab於點m．∵ae=be，em⊥ab，
∴am=bm=×6=3；
∵∠ame=∠maf=∠afe=90°，
∴四邊形amef是矩形，
∴ef=am=3；
在rt△afe中，ae==5；
（2）延長af、bc交於點n．
∵ad∥en，
∴∠daf=∠n；
∵∠afd=∠nfc，df=fc，
∴△adf≌△ncf（aas），
∴ad=cn；
∵∠b+∠n=90°，∠bae+∠ean=90°，
又ae=be，∠b=∠bae，
∴∠n=∠ean，ae=en，
∴be=en=ec+cn=ec+ad，
∴ce=be﹣ad．
5、如圖，四邊形abcd為等腰梯形，ad∥bc，ab=cd，對角線ac、bd交於點o，且ac⊥bd，dh⊥bc．（1）求證：dh=（ad+bc）；
（2）若ac=6，求梯形abcd的面積．
解：（1）證明：過d作de∥ac交bc延長線於e，（1分）
∵ad∥bc，
∴四邊形aced為平行四邊形．（2分）
∴ce=ad，de=ac．
∵四邊形abcd為等腰梯形，
∴bd=ac=de．
∵ac⊥bd，
∴de⊥bd．
∴△dbe為等腰直角三角形．（4分）
∵dh⊥bc，
∴dh=be=（ce+bc）=（ad+bc）．（5分）
（2）∵ad=ce，
∴．（7分）
∵△dbe為等腰直角三角形bd=de=6，
∴．∴梯形abcd的面積為18．（8分）
注：此題解題方法並不唯一．
6、已知，如圖，△abc是等邊三角形，過ac邊上的點d作dg∥bc，交ab於點g，在gd的延長線上取點e，使de=dc，連線ae，bd．
（1）求證：△age≌△dab；
（2）過點e作ef∥db，交bc於點f，連af，求∠afe的度數．
（1）證明：∵△abc是等邊三角形，dg∥bc，
∴∠agd=∠abc=60°，∠adg=∠acb=60°，且∠bac=60°，
∴△agd是等邊三角形，
ag=gd=ad，∠agd=60°．
∵de=dc，∴ge=gd+de=ad+dc=ac=ab，
∵∠agd=∠bad，ag=ad，
∴△age≌△dab；
（2）解：由（1）知ae=bd，∠abd=∠aeg．
∵ef∥db，dg∥bc，
∴四邊形bfed是平行四邊形．
∴ef=bd，
∴ef=ae．
∵∠dbc=∠def，
∴∠abd+∠dbc=∠aeg+∠def，即∠aef=∠abc=60°．
∴△afe是等邊三角形，∠afe=60°．
7、如圖，梯形abcd中，ad∥bc，de=ec，ef∥ab交bc於點f，ef=ec，連線df．
（1）試說明梯形abcd是等腰梯形；
（2）若ad=1，bc=3，dc=，試判斷△dcf的形狀；
（3）在條件（2）下，射線bc上是否存在一點p，使△pcd是等腰三角形，若存在，請直接寫出pb的長；若不存在，請說明理由．
解：（1）證明：∵ef=ec，
∴∠efc=∠ecf，
∵ef∥ab，
∴∠b=∠efc，
∴∠b=∠ecf，∴梯形abcd是等腰梯形；
（2）△dcf是等腰直角三角形，
證明：∵de=ec，ef=ec，∴ef=cd，
∴△cdf是直角三角形（如果乙個三角形一邊上的中線等於這條邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形），∵梯形abcd是等腰梯形，
∴cf=（bc﹣ad）=1，
∵dc=，
∴由勾股定理得：df=1，
∴△dcf是等腰直角三角形；
（3）共四種情況：
∵df⊥bc，
∴當pf=cf時，△pcd是等腰三角形，
即pf=1，
∴pb=1；
當p與f重合時，△pcd是等腰三角形，
∴pb=2；
當pc=cd=（p在點c的左側）時，△pcd是等腰三角形，
∴pb=3﹣；
當pc=cd=（p在點c的右側）時，△pcd是等腰三角形，
∴pb=3+．
故共四種情況：pb=1，pb=2，pb=3﹣，pb=3+．（每個1分）
8、如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=∠bcd=60°，ad=dc，e、f分別在ad、dc的延長線上，且de=cf．af交be於p．
（1）證明：△abe≌△daf；
（2）求∠bpf的度數．
解答：（1）證明：∵在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=∠bcd=60°，
∴ab=cd，
∵ad=dc，
∴ba=ad，∠bae=∠adf=120°，
∵de=cf，
∴ae=df，
在△bae和△adf中，
，∴△abe≌△daf（sas）．
（2）解：∵由（1）△bae≌△adf，
∴∠abe=∠daf．
∴∠bpf=∠abe+∠bap=∠bae．
而ad∥bc，∠c=∠abc=60°，
∴∠bpf=120°．
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1 等腰梯形abcd中，ab cd，ad bc，延長ab到e，使be cd，鏈結ce 1 求證 ce ca 5分 2 上述條件下，若af ce於點f，且af平分 dae，求sin caf的值。5分 2 分 如圖7，在梯形abcd中，ad bc,1 分 求證 證明 2 分 若，求梯形abcd的面積 解...
圓中幾何證明題專項訓練題
1.如圖，在 abc，ab ac，以ab為直徑的 o分別交ac bc於點d e，點f在 ac的延長線上，且 cab 2 cbf 求證 直線bf是 o的切線 2.如圖，ab為 o的直徑，ac為 o的弦，ad平分 bac，交 o於點d，de ac，交ac的延長線於點e 求證 de是 o的切線.3 如圖，...
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