三角形的有關計算和證明是中考的必考內容之一，這類試題解法比較靈活，通常以全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質和判定為考查重點，以計算題、證明題的形式出現，解答這類問題時，不僅要熟練掌握有關的公式定理，更要注意它們之間的相互聯絡.
例 (2014·重慶b卷)如圖，在△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc，e為ac邊的中點，過點a作ad⊥ab交be的延長線於點d.cg平分∠acb交bd於點g，f為ab邊上一點，連線cf，且∠acf＝∠cbg.
求證：(1)af＝cg；(2)cf＝2de.
【思路點撥】(1)要證明af＝cg，可以利用「asa」證明△acf≌△cbg來得到；x k b 1 . c o m
(2)要證明cf＝2de，由(1)得cf=bg，則只要證明bg=2de，又利用△aed≌△ceg可得dg=2de，故證明dg=bg即可.
【解答】證明：(1)∵∠acb＝90°，cg平分∠acb，ac＝bc.
∴∠bcg＝∠cab＝45°.
又∵∠acf＝∠cbg，ac＝bc，
∴△acf≌△cbg(asa),
∴cf＝bg，af＝cg.
(2)延長cg交ab於點h.
∵ac＝bc，cg平分∠acb，
∴ch⊥ab，h為ab中點.
又∵ad⊥ab，∴ch∥ad,
∴g為bd中點，∠d＝∠egc.
∵e為ac中點，∴ae＝ec.
又∵∠aed＝∠ceg，
∴△aed≌△ceg(aas),
∴de＝eg,∴dg＝2de,∴bg＝dg＝2de.
由(1)得cf＝bg，∴cf＝2de.
方法歸納：解答與線段或角相等的有關問題時，通常將它轉化為全等三角形問題來求解.
1.(2014·長沙)如圖，四邊形abcd是矩形，把矩形沿對角線ac摺疊，點b落在點e處，ce與ad相交於點o.
(1)求證：△aoe≌△cod；
(2)若∠ocd=30°，ab=,求△aoc的面積.
2.(2014·濱州)如圖，已知正方形abcd，把邊dc繞d點順時針旋轉30°到dc′處，連線ac′，bc′，cc′.寫出圖中所有的等腰三角形，並寫出推理過程.
3.如圖，在△abc中，∠abc=45°,cd⊥ab,be⊥ac,垂足分別為d、e，f為bc中點，be與df、dc分別交於點g、h，∠abe=∠cbe.
(1)線段bh與ac相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；
(2)求證：bg2-ge2=ea2.
x.k.b.1
4.在等邊△abc中，點e是ab上的動點，點e與點a、b不重合，點d在cb的延長線上，且ec=ed.
(1)當be=ae時，求證：bd=ae；
(2)當be≠ae時，「bd=ae」還成立嗎？若你認為不成立，請直接寫出bd與ae數量關係式，若你認為成立，請給予證明.
5.(2014·重慶a卷)如圖，△abc中，∠bac=90°，ab=ac，ad⊥bc，垂足是d，ae平分∠bad，交bc於點e.在△abc外有一點f，使fa⊥ae，fc⊥bc.
(1)求證：be=cf；
(2)在ab上取一點m，使bm=2de，連線mc，交ad於點n，連線me.
求證：①me⊥bc；②de=dn.
參***
1.(1)證明：由摺疊的性質可得：ae＝ab,∠e＝∠b＝90°.
∵四邊形abcd是矩形，∴cd＝ab,∠d＝90°.
∴ae＝cd，∠e＝∠d＝90°.
在△aoe和△cod中，
∴△aoe≌△cod(aas).
(2)在rt△ocd中，∠ocd＝30°，∴oc=
∵ab＝cd＝，od2+cd2=oc2，
∴od2+()2=4od2,解得od＝1.
∴oc＝2.
由摺疊知：∠bca＝∠aco.
∵ad∥bc，∴∠oac＝∠bca，
∴∠oac＝∠aco，∴oa＝oc＝2，
∴s△aoc=·oa·cd=×2×=.
2.圖中的所有的等腰三角形有：△dcc′，△dac′，△abc′，△bcc′，理由如下：
∵正方形abcd，
∴cd=ad=ab=bc，
∠adc=∠dab=∠abc=∠bcd=90°.
∵邊dc繞d點順時針旋轉30°到dc′處，
∴dc′=dc=ad=ab，
∠dcc′=∠dc′c= (180°-30°)=75°，
即△dcc′是等腰三角形.
∵∠adc=90°，∠cdc′=30°，∴∠adc′=60°.
∵dc′=ad，∴△dac′為等邊三角形.
∴ac′=ad=ab，∠dac′=∠dc′a=60°,
∴△abc′為等腰三角形，∠bac′=90°-60°=30°,
∴∠abc′=∠ac′b= (180°-30°)=75°,
∴∠c′bc=90°-75°=15°，
∠c′cb=90°-75°=15°,
∴∠c′bc=∠c′cb,
∴△bcc′是等腰三角形.
3.(1)bh=ac.
證明：∵∠bdc=∠bec=∠cda=90°,
∠abc=45°,
∴∠bcd=45°=∠abc,∴db=dc.
又∵∠bhd=∠che,∴∠dbh=∠dca.
∴△dbh≌△dca,∴bh=ac.
(2)證明：連線gc.則gc2-ge2=ec2.
∵f為bc中點，db=dc，∴df垂直平分bc,
∴bg=gc.
∴bg2-ge2=ec2.
∵∠abe=∠cbe,∠ceb=∠aeb,be=be,
∴△bce≌△bae.
∴ec=ea,
∴bg2-ge2=ea2.
4.(1)證明：如圖1，在等邊△abc中，∠abc=∠acb=60°.
∵be=ae，∴∠ace=∠ecb=30°.
又∵ce=de，∴∠d=∠ecd=30°.
∴∠deb=30°，∴be=bd，∴bd=ae.
(2)bd=ae還成立.
證明：如圖2，過點e作ef∥ac交bc於f，
易證△efb為等邊三角形，
∴ef=fb=be.∴∠efb=∠ebf.
∴∠cfe=∠ebd.
∵ce=de，∴∠ecd=∠d.
∴△ecf≌△edb，∴cf=bd.
∵ab=bc，ab-be=bc-bf，即ae=cf.
∴ae=bd.
5.證明：(1)∵∠bac=90°，ab=ac，
∴∠b=∠acb=45°.
∵fc⊥bc，∴∠bcf=90°.
∴∠acf=90°-45°=45°，∴∠b=∠acf.
∵∠bac=90°，fa⊥ae，
∴∠bae+∠cae=90°，∠caf+∠cae=90°，
∴∠bae=∠caf.
在△abe和△acf中，
∴△abe≌△acf(asa).
∴be=cf.
(2)①如圖，過點e作eh⊥ab於h，則△beh是等腰直角三角形.
∴he=bh，∠beh=45°.
∵ae平分∠bad，ad⊥bc，
∴de=he，∴de=bh=he.w!w!w.!x!k!b!
∵bm=2de，∴he=hm，
∴△hem是等腰直角三角形，∴∠meh=45°，
∴∠bem=45°+45°=90°，∴me⊥bc.
②由題意，得∠cae=45°+×45°=67.5°，
∴∠cea=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠cae=∠cea=67.5°，∴ac=ce.
在rt△acm和rt△ecm中，
∴rt△acm≌rt△ecm(hl)，
∴∠acm=∠ecm=×45°=22.5°.
又∵∠dae=×45°=22.5°，
∴∠dae=∠ecm.
∵∠bac=90°，ab=ac，ad⊥bc，
∴ad=cd=bc.
在△ade和△cdn中，
∴△ade≌△cdn(asa)，
∴de=dn.
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