四邊形的有關計算與證明是歷年中考的必考內容之一，通常結合三角形等知識綜合考查，以計算題、證明題的形式出現，解答此類問題除熟練掌握四邊形的性質和判定定理外，還須綜合三角形等知識解題.
例 (2014·邵陽)準備一張矩形紙片，按如圖所示操作：
將△abe沿be翻摺，使點a落在對角線bd上的m點；將△cdf沿df翻摺，使點c落在對角線bd上的n點.
(1)求證：四邊形bfde是平行四邊形；
(2)若四邊形bfde是菱形，ab＝2，求菱形bfde的面積.
【思路點撥】(1)由矩形及翻摺的性質可證得△edm≌△fbn，從而證出四邊形bfde是平行四邊形；
(2)由菱形及矩形的性質得出∠abe=∠dbe=∠dbc=30°，利用銳角三角函式可求出ae、be，進而求出ad、de，即可求出菱形bfde的面積.
【解答】(1)∵四邊形abcd是矩形，
∴∠a＝∠c＝90°，ab＝cd.
由翻摺得：bm=ab，dn=dc，∠a=∠emb，∠c=∠dnf，
∴bm=dn,∠emb=∠dnf=90°，
∴bn=dm,∠emd=∠fnb=90°.
∵ad∥bc,∴∠edm=∠fbn，
∴△edm≌△fbn(asa)，∴ed=bf，
∴四邊形bfde是平行四邊形.
(2)∵四邊形bfde是菱形，∴∠ebd=∠fbd.x k b 1 . c o m
∵∠abe=∠ebd,∠abc=90°,
∴∠abe=×90°=30°.
在rt△abe中，∵ab=2，
∴ae=,be=,
∴ed=,∴ad=.
∴s△abe＝ab·ae=.
s矩形abcd＝ab·ad=，
∴s菱形bfde＝-2×＝.
方法歸納：證明平行四邊形及特殊平行四邊形時，通常要先看題中已知條件的特點，然後根據條件選擇合適的判定方法加以證明.
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1.(2013·新疆)如圖，在△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於d，ae平分∠bac，分別與bc、cd交於點e、f，eh⊥ab於h.連線fh，求證：
四邊形cfhe是菱形.
2.(2014·濟寧)如圖，正方形aefg的頂點e、g在正方形abcd的邊ab、ad上，連線bf、df.
(1)求證：bf=df；
(2)連線cf，請直接寫出be∶cf的值(不必寫出計算過程).
3.(2014·涼山)如圖，分別以rt△abc的直角邊ac及斜邊ab向外作等邊△acd及等邊△abe，已知：∠bac=30°，ef⊥ab，垂足為f，連線df.
(1)試說明ac=ef;
(2)求證：四邊形adfe是平行四邊形.[**:學。科。網z。x。x。k]
4.(2014·舟山)已知：如圖，在□abcd中，o為對角線bd的中點，過點o的直線ef分別交ad，bc於e，f兩點，連線be，df.
(1)求證：△doe≌△bof.
(2)當∠doe等於多少度時，四邊形bfde為菱形？請說明理由.
5.如圖，點o是線段ab上的一點，oa=oc，od平分∠aoc交ac於點d，of平分∠cob，cf⊥of於點f.
(1)求證：四邊形cdof是矩形；
(2)當∠aoc為多少度時，四邊形cdof是正方形？並說明理由.
6.(2014·成都)如圖，矩形abcd中，ad=2ab，e是ad邊上一點，de=ad(n為大於2的整數)，連線be，作be的垂直平分線分別交ad、bc於點f，g，fg與be的交點為o，連線bf和eg.
(1)試判斷四邊形bfeg的形狀，並說明理由；
(2)當ab=a(a為常數)，n=3時，求fg的長；
(3)記四邊形bfeg的面積為s1，矩形abcd的面積為s2，當=時，求n的值.(直接寫出結果，不必寫出解答過程)
參***
1.證明：∵∠acb=90°，ae平分∠bac，eh⊥ab，
∴ce=eh.
在rt△ace和rt△ahe中，ae=ae，ce=eh，
由勾股定理，得ac=ah.∴∠caf=∠haf.
在△caf和△haf中，
∴△caf≌△haf(sas)，∴∠acd=∠ahf.
∵cd⊥ab，∠acb=90°，∴∠cda=∠acb=90°，
∴∠b+∠cab=90°，∠cab+∠acd=90°，
∴∠acd=∠b=∠ahf，∴fh∥ce.
∵cd⊥ab，eh⊥ab，∴cf∥eh，
∴四邊形cfhe是平行四邊形.
又∵ce=eh，∴四邊形cfhe是菱形.
2.證明：(1)∵四邊形abcd和aefg都是正方形，
∴ab=ad，ae=ag=ef=fg，
∠bef=∠dgf=90°.
∵be=ab-ae，dg=ad-ag，∴be=dg,
∴△bef≌△dgf，∴bf=df.
(2)be∶cf=.
3.證明：(1)∵△abe是等邊三角形，ef⊥ab，
∴∠aef=∠aeb=30°，ae=ab，
∠efa=90°.
∴∠aef=∠bac.
又∵∠acb=90°，∴∠efa=∠acb.
∴△aef≌△bac(aas),∴ac=ef.
(2)∵△acd是等邊三角形，
∴ac=ad，∠dac=60°.
由(1)的結論得ac=ef.∴ad=ef.
又∵∠bac=30°，
∴∠fad=∠bac+∠dac=90°.
又∵∠efa=90°，∴ef∥ad.
又∵ef=ad，
∴四邊形adfe是平行四邊形.
4.(1)證明：∵在□abcd中，o為對角線bd的中點，
∴bo=do，∠edb=∠fbo.
∵∠eod=∠bof，∴△doe≌△bof(asa).
(2)當∠doe=90°時，四邊形bfde為菱形.
理由：∵△doe≌△bof，∴bf=de.
又∵bf∥de，∴四邊形ebfd是平行四邊形.
∵bo=do，∠eod=90°，
∴eb=de.∴四邊形bfde為菱形.
5.(1)證明：∵od平分∠aoc，of平分∠cob，
∴∠aoc=2∠cod，∠cob=2∠cof.
∵∠aoc+∠boc=180°，
∴2∠cod+2∠cof=180°，
∴∠cod+∠cof=90°，∴∠dof=90°.
∵oa=oc，od平分∠aoc，∴od⊥ac，ad=dc.∴∠cdo=90°.
∵cf⊥of，∴∠cfo=90°.
∴四邊形cdof是矩形.
(2)當∠aoc=90°時，四邊形cdof是正方形.
理由：∵∠aoc=90°，ad=dc，∴od=dc.
又由(1)知四邊形cdof是矩形，
∴四邊形cdof是正方形.
因此，當∠aoc=90°時，四邊形cdof是正方形.
6.(1)菱形.
∵fg為be的垂直平分線，
∴fe＝fb，gb＝ge，∠feb＝∠fbo.
又fe∥bg，∴∠feb＝∠gbo，
∴∠fbo＝∠gbo.
∵bo＝bo，∠bof＝∠bog=90°，
∴△bof≌△bog，∴bf＝bg.
∴bg＝ge＝ef＝fb.∴四邊形bfeg為菱形.
(2)ab＝a，ad＝2a，de＝a，ae＝a，
be＝=a，oe＝a.
設菱形bfeg的邊長為x，
∵ab2+af2＝bf2，
∴a2+(a-x)2=x2，解得x＝a.
∴of＝=a=a.∴fg＝a.
(3)n＝6.
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