05直線、平面平行的判定及其性質
1.直線與平面平行的判定
定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
用符號表示：.
用圖形表示：（如右圖）
詳解：利用判定定理證明直線與平面平行必須具備三個條件：
(1) 直線a在平面外，即；
(2) 直線b在平面內，即；
(3) 兩直線a，b平行，即.
判定直線與平面平行的方法：
(一) 利用定義：證明直線與平面無公共點；
(二) 利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行。
(三) 反證法：假設直線與平面不平行，那麼直線與平面相交或直線在平面內，由已知或定理、定理證明這是不可能的，這樣否定假設。
2.直線與平面平行的性質
定理：一條直線與乙個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
此定理也可用符號表示：.
即「線面平行，則線線平行」
用圖形表示：（如右圖）
詳解：在應用此定理判定直線與直線平行時，必須具備三個條件：
①直線a平行α與平面，即；
②直線a在平面β內，即；
③平面α與平面β相交於直線b,即，這三個條件缺一不可。
判定線線平行的方法：
(一) 平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線平行；
(二) 在同一平面內垂直於同一直線的兩條直線平行；
(三) 公理4：平行於同一直線的兩條直線互相平行；
(四) 現在學習的直線與平面平行的性質定理是第四種判定線線平行的方法。
3.平面與平面平行的判定
定理：乙個平面內的兩條相交直線和另乙個平面平行，則這兩個平面平行。
此定理也可用符號表示：.
推論：如果乙個平面內的兩條相交直線分別平行於另乙個平面內的兩條相交直線，那麼這兩個平面平行。
用圖形表示：（如右圖）
詳解：利用判定定理證明兩個平面平行，必須具備兩個條件：
①有兩條直線平行與另乙個平面；②這兩條直線必須相交；兩者缺一不可。
判定兩個平面平行的方法有以下幾種：
(一) 利用定義：證兩個平面沒有公共點；
(二) 面面平行的判定定理：如果乙個平面內有兩條相交直線平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行；
(三) 兩個平面同時平行於第三個平面，那麼這兩個平面平行；
(四) 乙個平面內的兩條相交直線分別平行於另乙個平面內的兩條相交直線，那麼這兩個平面平行。
4.平面與平面平行的性質
定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。
此定理也可用符號表示：.
用圖形表示：
詳解：我們根據兩個平面平行即直線和平面平行的定義，容易得到如下結論：
，也就是說，
如果兩個平面平行，那麼其中乙個平面內的任意一條直線平行於另乙個平面。
直線與平面平行判定定理與平面平行性質定理經常交替使用，也就是通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出新的線線平行，複雜的題目還可以繼續推下去。
5.線面、面面判斷或證明方法
①直線與平面的判斷或證明方法：
ⅰ、定義法：即若，則。
ⅱ、判定定理法：即直線與平面平行的判定定理。注意「三個條件，乙個結論」缺一不可。
ⅲ、麵麵法：即。
ⅳ、向量法：（見相關部分）
②平面與平面的判斷或證明方法：
ⅰ、定義法：即若，則。
ⅱ、判定定理法：即平面與平面平行的判定定理。注意「相交」 的條件。
ⅲ、線面垂直法：即。
ⅳ、傳遞法：即。
ⅴ、向量法：（見相關部分）
06直線、平面垂直的判定及其性質
1.直線與平面垂直的定義
ⅰ、直線與平面垂直的定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α的垂直，記作直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面。直線與平面垂直時，它們唯一的公共點p叫做垂足。
ⅱ、直線與平面垂直的特點：過一點有且只有一條直線和乙個平面垂直；過一點有且只有乙個平面和一條直線垂直。
ⅲ、直線與平面垂直的畫法：畫圖形時，注意橫縱垂直。（如右圖）
ⅳ、直線與平面垂直的表示：記作 。
詳解：定義中的「任何一條直線」這一詞語，它與「所有直線」是同義語，定義是說這條直線和平面內的所有直線都垂直。（任何一條直線=所有直線）
直線和平面垂直時直線和平面相交的一種特殊形式。
雖然這樣的定義給線面垂直的判定帶來困難，但是在直線和平面垂直時，卻可以得到直線和平面內任何一條直線都垂直，給判定兩條直線垂直帶來方便。
2.直線與平面垂直的判定
直線與平面垂直的判定：
定理：一條直線與乙個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
符號語言表述：
圖形語言：（如右圖）
詳解：該定理常表述為「線線垂直，則線面垂直」。
該定理的作用：證明線面垂直。在應用該定理判定一條直線和乙個平面垂直時，一定要抓住這條直線和平面內的兩條相交直線，而不是任意的兩條直線。
推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直於平面，那麼另一條直線也垂直於這個平面。用符號語言表述為：若，且，則.
3.證明線面垂直的方法
(一) 用定義：證明直線和平面內的所有直線都垂直；
(二) 用判定定理：證明直線與平面內的兩條相交直線垂直，在用此定理時一定要注意：①已知直線與兩條直線都垂直；②兩條直線都在所證的平面內；③這兩條直線必須相交，這一條易被忽略。
(三) 利用判定定理的推論：即兩條平行線中的一條垂直於乙個平面，則另一條也垂直於這個平面；
(四) 反證法：用此方法首先肯定直線與平面相交，再證明斜交不可能；
(五) 同一法：這種方法在立體幾何中是證題的重要手段，先作一條滿足條件的平面的垂線，然後證明這條垂線就是要證的直線或說這條直線與所證直線是同一直線。
4.平面的斜線與射影
ⅰ、平面的斜線：
一條直線和乙個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線就叫做這個平面
的斜線。斜線和平面的交點叫做斜足。（如圖，是平面的斜線，是斜足）ⅱ、平面的射影：
從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影。（如圖，，垂足，則直線是斜線在平面內的射影）
5.直線與平面所成的角
定義：一條直線pa和乙個平面α相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點a稱之為斜足。
如圖，是平面的一條斜線，點是斜足，是上任意一點，是平面的垂線，點是垂足，那麼直線（記作）是在平面**影，則（記作）是與平面所成的角。
①一條直線垂於平面，我們說它們所成的角是直角；
②一條直線和平面平行或在平面內，我們說它們所成的角是0°角。
詳解：當直線與平面平行時，直線與平面所成的角是0；當直線與平面垂直時，直線與平面所成的角是，故直線與平面所成的角的取值範圍是.
6.三垂線定理與逆定理
ⅰ、三垂線定理：
ⅱ、三垂線定理的逆定理：
7.二面角
ⅰ、二面角的概念：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫二面角的稜，這兩個半平面叫二面角的面。
ⅱ、二面角的畫法：
直立式平臥式：
ⅲ、二面角的表示：如圖，
⑴如果稜為，半平面為的二面角，可記作二面角。
⑵如果在內（稜以外的半平面部分）分別取點，可將這個二面角記作二面角。
⑶如果稜為，則這個二面角可記作或。
ⅳ、二面角的求法：
⑴通過求二面角的平面角；⑵用向量方法求二面角。
8.二面角的平面角
ⅰ、二面角平面角的概念：
以二面角的稜上任意一點為端點，在兩個麵內分別作垂直於稜的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
如右上圖所示，在二面角的稜l上任取一點o，以點o為垂足，在半平面和內分別作垂直於稜l的射線oa和ob，則射線oa和ob所成的∠aob叫做二面角的平面角。
ⅱ、二面角平面角的畫法：
在二面角的稜上任取點o，以o為垂足，在半平面和內分別
作垂直於稜的射線和，則射線和組成的就是二面角的平面角。
若再取稜上另一點o′，在和內分別作的垂線和，則它們組成角也是二面角的平面角。
顯然，，即二面角的平面角處處相等。
ⅲ、二面角平面角的表示敘述：
∵，，∴就是二面角的平面角。
ⅳ、二面角平面角的求法：
找到二面角的平面角，利用解三角形求之。
二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。
詳解：二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是幾度就說這個二面角是幾度。
本書中，我們規定二面角的大小範圍是0°~180°，當二面角的兩個面合成乙個平面是，規定二面角的大小為180°.
若乙個二面角的平面角是直角，就說這個二面角為直二面角。
二面角的平面角必須具備三個條件：
①角的頂點在二面角的稜上；
②角的兩邊分別在二面角的兩個半平面內；
③角的兩邊分別與二面角的稜垂直。
9.平面與平面垂直的判定
1.兩平面互相垂直的定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。
兩個互相垂直的平面通常畫成以下頁圖的樣子，此時，把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直。平面α與β垂直，記作.
2.平面與平面垂直的判定
定理：乙個平面過另乙個平面的垂線，則這兩個平面垂直。
符號語言：α⊥β。
圖形語言：
詳解：此定理常表述為：若線面垂直，則麵麵垂直。
此定理的作用是：證明面面垂直。
10.直線與平面垂直的性質
定理：垂直於同乙個平面的兩條直線平行。
符號語言：
圖形語言：
詳解：該定理的作用：證明線線平行
三個常見的結論：
(1) 若，且，則；
(2) 過一點有且只有一條直線和已知平面垂直；
(3) 過一點有且只有乙個平面和已知直線垂直。
垂直於同一條直線的兩個平面平行。此結論也可以當做定理來使用。
如果兩條平行線中有一條直線垂直於乙個平面，那麼另一條直線也垂直於這個平面。
11.平面與平面垂直的性質
定理：兩個平面垂直，則乙個平面內垂直於交線的直線與另乙個平面垂直。
用符號語言表示：已知
符號語言
圖形語言：
兩個平面垂直的性質定理也可簡述為：「面面垂直，則線面垂直」，它反映了麵麵垂直與線面垂直之間的密切關係。
詳解：(1) 這個定理說明，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直。
(2) 證明平面與平面垂直，還可以通過定義判斷，即證二面角的平面角為直角。
(3) 乙個平面垂直於兩個平行平面中的乙個，也垂直於另乙個。
(4) 平面與平面垂直的性質定理說明，由平面與平面垂直可以得到直線與平面垂直。這種直線與平面的位置關係同平面與平面的位置關係的相互轉化，是解決空間圖形問題重要的思想方法。
(5) 平面與平面垂直的性質定理實際上給出了證明線面垂直的又一種方法。
第六部分：立體幾何
（一）空間幾何體
高一數學必修二第二章複習 平行
圖形 方法 圖形 2 平面與平面平行的性質定理 文字語言 符號語言 圖形 關於 線線平行 線面平行 和 面面平行 的相互轉化根據上面 直線與平面平行的判定定理與性質定理 的作用和 平面與平面平行的判定定理與性質定理 的作用在箭頭橫線上填上相應的定理名稱.練習 1.若直線不平行於平面，則下列結論成立的...
高一數學必修二第二章複習 夾角
第二章點 直線 平面之間的位置關係複習 夾角 自我評價你完成本節導學案的情況為a.很好 b.較好 c.一般 d.較差 一 學習目標 1.了解兩條異面直線所成的角的概念 c層 2.理解直線與平面所成的角的概念，並根據射影的概念先找到直線射影後確定線面夾角從而熟練求解直線和平面所成角 b層 2.理解二面...
蘇教版高一數學必修一第二章2 1 1 二
一 填空題 1 函式f x 的定義域是 值域是 2 如果二次函式的圖象開口向上且關於直線x 1對稱，且過點 0,0 則此二次函式的 解析式可以是填序號 f x x2 1 f x x 1 2 1 f x x 1 2 1 f x x 1 2 1.3 若函式g x 2 2x 3，則g 3 的值是 4 函式...