501. 在長方體abcd－中，ab＝2，，m、n分別是ad、dc的中點．
（1）證明∥；
（2）求異面直線mn與所成角的余弦值．
解析：（1是平行四邊形，∴ac∥，又mn∥ac，因此，mn∥．
（2）由（1），是異面直線mn與所成角．在△中，，．於是有．
502. 在空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是邊ab、bc、cd、da的中點，得到四邊形efgh．
（1）四邊形efgh是
（2）當對角線ac＝bd時，四邊形efgh是
（3）當對角線滿足條件時，四邊形efgh是矩形；
（4）當對角線ac、bd滿足條件_______時，四邊形efgh是正方形．
解析：（1）由三角形中位線定理可知efac，hgac，於是efhg，故四邊形efgh為平行四邊形；
（2）當ac＝bd時，由ef＝ac，eh＝bd，得ef＝eh，即平行四邊形efgh的鄰邊相等，故平行四邊形efgh為菱形；
（3）要使平行四邊形efgh為矩形，需且只須乙個角是直角．如需ef⊥fg，則ac⊥bd；
（4）要使平行四邊形efgh為正方形，需且只須ac⊥ bd，且ac＝bd；
503. 借助兩支鉛筆，試研究以下問題：
（1）在平面內，過直線外一點有多少條直線與已知直線平行?在空間呢?
圖9－17
（2）在乙個平面內，過一點有多少條直線與已知直線垂直?在空間呢?
（3）在乙個平面內，與該平面內的已知直線所成角為60°的直線有多少條?這些直線與已知直線的位置關係如何?在空間，與一條直線所成角為60°的直線有多少條?
這些直線與已知直線的位置關係如何?
解析：（1）在乙個平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；在空間也如此．
（2）在乙個平面內，過一點（該點可在直線上，也可在直線外）有且只有一條直線與已知直線垂線；在空間過直線上或直線外一點都有無數條直線和已知直線垂直，這無數條直線在過已知點的乙個平面上（以後可知該平面與直線垂直）．
（3）在乙個平面內，與已知直線成60°角的直線有無數條，這無數條直線平行，且都與已知直線相交；在空間也是有無數條直線與已知直線成60°角，它們與已知直線位置關係是相交或異面．
504. 如圖9－18，已知p為△abc所在平面外一點，pc⊥ab，pc＝ab＝2，e、f分別為pa和bc的中點．
（1）求證：ef與pc是異面直線；
（2）ef與pc所成的角；
（3）線段ef的長．
解析：（1）用反證法．假設ef與pc共面於α，則直線pe、cf共面α，則a∈α，b∈α，於是p與a、b、c共面於α，這與已知「p是平面abc外一點」矛盾．故ef與pc是異面直線．
（2）取pb中點g，鏈結eg、fg，由e、f分別是線段pa、bc中點，有egab，gfpc ∴ ∠gfe為異面直線ef與pc所成的角，∠egf是異面直線pc與ab所成的角，∵ pc⊥ab，∴ eg ⊥gf，即∠egf＝90°．∵ pc＝ab＝2，∴ eg＝1，gf＝1，故△efg是等腰直角三角形，∴ ∠gfe＝45°，即ef與pc所成的角是45°．
（3）由（2）知rt△egf中eg＝1，gf＝1，∠egf＝90°，∴ ef＝
505. 如圖9－19，在稜長為a的正方體abcd—中，o是ac、bd的交點，e、f分別是ab與ad的中點．
圖9－19
（1）求異面直線與所成角的大小；
（2）求異面直線ef與所成角的大小；
（3）求異面直線ef與所成角的正切值；
（4）求異面直線ef與的距離．
解析：（1）∵ ∥ac，∴ 與ac所成的銳角或直角就是與所成的角，鏈結、，在△和是等腰三角形．∵ o是底邊ac的中點，∴ ，故與所成的角是90°．
（2）∵ e、f分別是ab、ad中點，∴ ef∥bd，又∵ ∥ac，∴ ac與bd所成的銳角或直角就是ef與所成的角．∵ 四邊形abcd是正方形，∴ ac⊥bd，∴ ef與所成的角為90°
（3）∵ ef∥bd，∴ 為異面直線ef與所成的角．∵ 四邊形是正方形，∴ ，∴ 在rt△中，，＝＝，∴ ，即ef與所成角的正切值為．
（4）∵ ef∥bd，bd⊥ac，∴ ef⊥ac，設交點為g．∵ ⊥ac（由（1）
知）於o，則ac是異面直線ef與的公垂線，og的長即為ef與間的距離，由於g是oa中點，o是ac中點，且，∴ ，即ef與間的距離為．
506. 在空間中，
①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線．
②若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線．
以上兩個命題中，逆命題為真命題的是
（把符合要求的命題序號都填上）
解析：②．①的逆命題為：空間四點中若任何三點都不共線，則這四點不共面．此命題是假命題．平行四邊形的四個頂點是其反例．
②的逆命題為：若兩條直線是異面直線，則這兩條直線沒有公共點，可知此命題為真命題．
507. 下列命題中是真命題的是( )
a.底面是正方形的稜錐是正四稜錐
b.各條側稜都相等的稜錐是正稜錐
c.由乙個面是多邊形，其餘各個面是三角形所圍成的幾何體是稜錐
d.正四面體是正三稜錐
解析： 解此題時概念要明確，正稜錐不僅要求底面是正多邊形，而且還要求其頂點在底面的射影是底面的中心，所以a、b不正確，c中的各三角形沒有指明共頂點，c也不正確，d是真命題，所以選d.
508. 三稜錐a—bcd中，ac=bd,ad=bc,ab=cd，三個側面與底面所成的二面角分別為α、β、，則cosα+cosβ+cos= .
解析：如圖所示，設ac=bd=a,ad=bc=b,ab=cd=c
由已知所有側面三角形和底面三角形都是全等的三角形.
記為s，側面在底面的射影分別為s1、s2、s3
則=cosα, =cosβ, =cos
cosα+cosβ+cos===1
509. 已知三稜錐s—abc的底面面積是a，三稜錐的高是h，m、n、p、q分別是sb、sc、ac、ab的中點，求五面體mn—pqbc的體積
解析： 如圖，過m作md∥ba交sa於d，則d是sa的中點，鏈結nd，則nd∥ac
所求五面體mn—pqbc的體積等於原三稜錐的體積與五面體sa—mqpn的體積之差
而vs—abc=ah，
vs—dmn=·a·=ah，
v三稜主柱dmn—apq=s△aqp·h=ah，
∴vmn—pqbc=vs—abc-vsa—mqpn
=ah-(ah+ah)
=ah510. 稜錐被平行於底的平面分成體積相等的三部分.求這稜錐的高被分成三部分的比.
解析：設稜錐的高為h，它被截成的三部分自上而下設為h1，h2，h3，則有
()3=,()3=2,()3=.
所以h1=h,h2=(-1)h1= (-1)h，
h3=h.
所以h1∶h2∶h3=1∶(-1)∶(-).
說明求體積之比或面積之比常用相似比.
511. 已知四稜錐s—abcd的底面是邊長為6的正方形，sa⊥底面abcd，且sa=8，m是sa的中點，過m和bc作截面交sd於n.
(1)求證：截面mb**是梯形，並求截面的面積；
(2)求截面mb**與底面abcd的夾角α.
解析：(1)先證mn∥bc且mn≠bc.因為bc∥ad，所以ad∥截面mb**，從而
ad∥mn，bc∥mn.
又mn=ad=bc，所以mn≠bc.於是mn和bc平行但不相等，故mb**是梯形.
再求截面的面積：sa⊥平面abcd.易證mn和bc都垂直於平面abs.所以mb⊥mn，mb⊥bc，故
s截= (mn+bc)·mb
= (3+6) =9.
(2)首先要找到二面角的平面角.根據上面的證明，知∠mba的是截面與底面所成二面角的平面角，即∠mba=α.於是
tanα===
∴α=arctan
512. 以四面體各面的重心為頂點構成乙個新的四面體.求這兩個四面體的表面積的比.
解析：因相似多面體全面積的比等於對應邊的平方的比，故只須求出對應邊的比.
∵b1d1＝ef＝bd，
∴＝.同理，＝＝＝＝＝，
故abcd和a′b′c′d′是相似多面體，其表面積的比為1∶9.
513. 如圖，四稜錐的高為h，底面為菱形，側面vda和側面vdc所成的二面角為120°，且都垂直於底面，另兩個側面與底面所成的角都是45°，求此稜錐的全面積.
解析：由麵麵垂直的性質可證得vd⊥底面，因為sδvda＝sδvdc，∠adc＝120°，db是其平分線，而sδvbc＝sδvab，所以全面積不難求得.
解由已知條件可得vd⊥底面abcd，vd⊥da，vd⊥dc，
∴∠adc＝120°.
∵abcd為菱形，
∴bd是∠adc的平分線.
δadb和δdbc是全等的等邊三角形，取bc的中點e，
連de，bc⊥de，bc⊥ve，∴∠ved＝45°.
在直角δdec中，ec＝de·ctg60°＝h,bc＝h,ve＝h.
∴s底＝bc·de＝h·h＝h2,
sδvbc＝sδvab＝·h·h＝h2,
sδvad＝sδvdc＝h·h＝h2.
∴s全＝h2+h2+h2
＝(2+)h2
評析：本題的關鍵是側面vda和側面vdc都垂直於底面，則它們的交線vd⊥底面abcd，從而∠adc＝120°.
514. 已知三稜錐各側面與底面成60°角.底面三角形的各角成等差數列，且最大邊與最小邊是方程3x2-21x+13＝0的兩根.求此三稜錐的側面積和體積.
解析： 如圖，設底面三角形的邊長為a、b、c.則由條件知∠b＝60°，a+c＝7,ac＝，得b2＝a2+c2-2accosb＝(a+c)2-2ac(1+cosb)＝72-2·(1+)＝36b＝6,由三角形面積公式，得acsinb＝pr(其中p為半周長，r為內切圓半徑)，求得r＝.
由於各側面與底面成的角相等，∴頂點在底面上的射影是三角形的內心，且各側面上的高相等，∴h＝rtg60°＝·＝，h側＝＝.故s側＝(7+6)×＝ (平方單位)，v＝·acsinbh＝×××＝ (立方單位).
515. 正三稜錐a-bcd，底面邊長為a，側稜為2a，過點b作與側稜ac、ad相交的截面，在這樣的截面三角形中，求(1)周長的最小值；(2)周長為最小時截面積的值，(3)用這周長最小時的截面截得的小三稜錐的體積與三稜錐體積之比.
數學立體幾何經典基礎600題1有詳細答案
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