科目學生姓名日期
(1)兩直線平行的判定
①定義：在同乙個平面內，且沒有公共點的兩條直線平行.
②如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行，即若a∥α,a β，α∩β=b,則a∥b.
③平行於同一直線的兩直線平行，即若a∥b,b∥c,則a∥c.
④垂直於同一平面的兩直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b
⑤兩平行平面與同乙個平面相交，那麼兩條交線平行，即若b,則a∥b
⑥如果一條直線和兩個相交平面都平行，那麼這條直線與這兩個平面的交線平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，則a∥b.
(3)直線與平面平行的判定
①定義：若一條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行.
***②如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.即若aα,bα，a∥b,則a∥α.
***③兩個平面平行，其中乙個平面內的直線平行於另乙個平面，即若α∥β,lα，則l∥β.
④如果乙個平面和平面外的一條直線都垂直於同一平面，那麼這條直線和這個平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，則l∥α.
⑤在乙個平面同側的兩個點，如果它們與這個平面的距離相等，那麼過這兩個點的直線與這個平面平行，即若aα，bα，a、b在α同側，且a、b到α等距，則ab∥α.
⑥兩個平行平面外的一條直線與其中乙個平面平行，也與另乙個平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，則α∥β.
⑦如果一條直線與乙個平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，則b∥α.
⑧如果兩條平行直線中的一條平行於乙個平面，那麼另一條也平行於這個平面(或在這個平面內)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)
(4)直線與平面垂直的判定
①定義：若一條直線和乙個平面內的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直.
②如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面.即若mα，nα，m∩n=b,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.
③如果兩條平行線中的一條垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於同一平面.即若l∥a,a⊥α,則l⊥α.
④一條直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，它也垂直於另乙個平面，即若α∥β,l⊥β，則l⊥α.
⑤如果兩個平面互相垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另乙個平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,則l⊥α.
⑥如果兩個相交平面都垂直於第三個平面，則它們的交線也垂直於第三個平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,則a⊥γ.
(5)兩平面平行的判定
①定義：如果兩個平面沒有公共點，那麼這兩個平面平行，即無公共點α∥β.
②如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行，即若a,bα，a∩b=p,a∥β,b∥β,則α∥β.
③垂直於同一直線的兩平面平行.即若α⊥a,β⊥a,則α∥β.
④平行於同一平面的兩平面平行.即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
⑤乙個平面內的兩條直線分別平行於另一平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=p,a∥c,b∥d,則α∥β.
(6)兩平面垂直的判定
①定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那麼這兩個平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.
②如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直，即若l⊥β,lα，則α⊥β.
③乙個平面垂直於兩個平行平面中的乙個，也垂直於另乙個.即若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ.
7.直線在平面內的判定
【2012北京市石景山區一模理】17 ．（本小題滿分14分）
如圖，三稜柱中，⊥面，，，為的中點.
（ⅰ）求證：；san
（ⅱ）求二面角的余弦值；(垂面和垂線)
（ⅲ）在側稜上是否存在點，使得
？請證明你的結論.不
（06北京）如圖，在底面為平行四邊表的四稜錐中，，平面，且，點是的中點.
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：平面；
（ⅲ）求二面角的大小.
10．如圖，已知、、、分別是四面體的稜、、、的中點，
求證：∥平面.
2：如圖，abcd是正方形，o是正方形的中心，
po底面abcd，e是pc的中點．
求證：（1）pa∥平面bde； （2）平面pac平面bde．
5：．如圖，在四稜錐p-abcd中，底面abcd是正方形，
側稜pd⊥底面abcd，pd=dc，e是pc的中點，作ef⊥pb交pb於點f．
（1）證明 pa//平面edb； （2）證明pb⊥平面efd；
【2012北京市門頭溝區一模理】1如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，，，，為的中點．
四；（ⅰ）求證：平面
（ⅱ）求證：平面；
（ⅲ）求二面角的大小
【2012北京市朝陽區一模理】17. （本小題滿分14分）
在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，，且是的中點.
四（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求二面角的大小；
（ⅲ）**段上是否存在一點，
使得與所成的角為？
若存在，求出的長度；若不
存在，請說明理由.
6：已知正方形abcd和正方形abef所在的平面相交於ab，點m，n分別在ac和bf上，且am=fn.
求證：mn‖平面bce.
8： 如圖，已知△abc是正三角形，ea、cd都垂直於平面abc，且ea=ab=2a,dc=a,f是be的中點，
求證： (1) fd∥平面abc (2) af⊥平面edb.
【2023年北京市西城區高三一模理】17．（本小題滿分14分）
如圖，四邊形與均為菱形，，且．
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求證：∥平面；（面面平行證線線平行）
（ⅲ）求二面角的余弦值．
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定義法
(ii)垂面法
(iii)三垂線法
(ⅳ)根據特殊圖形的性質
(4)求二面角大小的常見方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過解三角形求得θ的值.
②利用面積射影定理
s′=s·cosα
其中s為二面角乙個麵內平面圖形的面積，s′是這個平面圖形在另乙個面上的射影圖形的面積，α為二面角的大小.
③利用異面直線上兩點間的距離公式求二面角的大小.
【2012北京市石景山區一模理】17 ．（本小題滿分14分）
如圖，三稜柱中，⊥面，，，為的中點.
（ⅰ）求證：；san
（ⅱ）求二面角的余弦值；(垂面和垂線)
（ⅲ）在側稜上是否存在點，使得
？請證明你的結論.不
【2012北京市門頭溝區一模理】16．（本小題滿分14分）
如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，，，，為的中點．
四；（ⅰ）求證：平面
（ⅱ）求證：平面；
（ⅲ）求二面角的大小．（垂面）
．（2023年高考（天津理））如圖,在四稜錐中,丄平面,丄,丄,acb=45 ,,.
(ⅰ)證明丄;
(ⅱ)求二面角的正弦值;
(ⅲ)設e為稜上的點,滿足異面直線be與cd所成的角為,求ae的長.
．（2023年高考（新課標理））如圖,直三稜柱中,,是稜的中點,
(1)證明:
(2)求二面角的大小.（垂線法的特殊性）
（2023年高考（四川理））如圖,在三稜錐中,,,,平面平面.
(ⅰ)求直線與平面所成角的大小;
(ⅱ)求二面角的大小.
．（2023年高考（浙江理））如圖,在四稜錐p—abcd中,底面是邊長為的菱形,且∠bad=120°,且pa⊥平面abcd,pa=,m,n分別為pb,pd的中點.
(ⅰ)證明:mn∥平面abcd;
(ⅱ) 過點a作aq⊥pc,垂足為點q,求二面角a—mn—q的平面角的余弦值.
家長簽字：年月日
立體幾何大題經典
一 線面平行專題 1.如圖，在直三稜柱中，分別是 的中點，求證 ef 平面abc 2.如圖，正三稜柱中，是的中點，求證 平面 兩種方法證明 3 如圖，在底面為平行四邊行的四稜錐中，點是的中點.求證 平面 兩種方法證明 4.如圖，分別為，的中點，是的中點，求證 平面 兩種方法證明 二 垂直專題 1.如...
立體幾何經典題目
1 2 如圖，在中，是上的高，沿把折起，使。證明 平面 平面 設 為 的中點，求與夾角的余弦值。解 折起前 是 邊上的高，當 折起後，ad ad 又db 平面 ad 平面平面bdc 平面abd平面bdc。由 及 知da，dc兩兩垂直，不防設 1，以d為座標原點，以所在直線軸建立如圖所示的空間直角座標...
立體幾何經典題目
a 以上四個圖形都是正確的 b 只有 2 4 是正確的 c 只有 4 是錯誤的d 只有 1 2 是正確的 7.在稜長為1的正方體中，分別用過公共頂點的三條稜中點的平面截該正方體，則截去8個三稜錐後剩下的幾何體的體積為 a.b.c.d.8.直線a，b，c交於一點，這三條直線確定的平面 a 1個b 3個...