一、 知識框架：
二、典型例題分析：
例1：如圖，p是矩形abcd內的任意一點，連線pa、pb、
pc、pd，得到△pab、△pbc、△pcd、△pda，設它們
的面積分別是、、、，給出如下結論：
①； ②；
③若，則；④若，則p點在矩形的對角線上其中正確結論的
序號是把所有正確結論的序號都填在橫線上）.
【解析】過點p分別向ad、bc作垂線段，兩個三角形的面積之和等於矩形面積的一半，同理，過點p分別向ab、cd作垂線段，兩個三角形的面積之和等於矩形面積的一半。=,又因為，則=,所以④一定成立。答案：
②④．【點評】本題利用三角形的面積計算，能夠得出②成立，要判斷④成立，在這裡充分利用所給條件，對等式進行變形.不要因為選出②，就認為找到答案了，對每個結論都要分析，當然感覺不一定對的，可以舉反例即可.對於 ④這一選項容易漏選.
例2：如圖所示，在梯形abcd中，ad∥bc，e為bc的中點，bc＝2ad，ea＝ed＝2，ac與ed相交於點f．
（1）求證：梯形abcd是等腰梯形；
（2）當ab與ac具有什麼位置關係時，
四邊形aecd是菱形？請說明理由，並求出此時菱形aecd的面積．
【解析】（1）通過證明△dec≌△aeb，得ab＝cd．（2）運用「一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形」易發現四邊形abed和四邊形aecd均為平行四邊形，從而有ab∥de，然後結合菱形的性質，發現ab需與ac垂直，接著發現△abe是等邊三角形即可解決問題．
【答案】解：（1）證明：∵ad∥bc， ∴∠dec＝∠eda，∠bea＝∠ead．
又∵ea＝ed，∴∠ead＝∠edadec＝∠aeb．
又∵eb＝ec，∴△dec≌△aebab＝cd．∴梯形abcd是等腰梯形．
（2）當ab⊥ac時，四邊形aecd是菱形．
證明：∵ad∥bc，be＝ec＝ad， ∴四邊形abed和四邊形aecd均為平行四邊形．
∴ab＝edab⊥ac，∴ae＝be＝ec．
∴四邊形aecd是菱形過a作ag⊥be於點g，∵ae＝be＝ab＝2，
∴△abe是等邊三角形，∠aeb＝60°．∴ag＝． ∴s菱形aecd＝ecag＝2×＝．
【點評】第（1）問簡單，第（2）問屬於條件開放**性問題，解答時，可以「執果索因」，從題目的結論出發逆向追索，再通過綜合分析推理而獲得結果．
三、實戰演練：
（一）填空題或選擇題：
1．根據條件判定它是什麼圖形，並在括號內填出，在四邊形中，對角線和相交於點
四邊形是平行四邊形且
2．如圖所示，在等腰梯形abcd中，ad∥bc,對角線ac、bd
相交於點o，下列結論不一定正確的是
a．ac=bd b．ob=oc c．∠bcd=∠bdc d．∠abd=∠acd
3．如圖所示，直線a經過正方形abcd的頂點a，分別過
此正方形的頂點b、d作於點f、於點e，
若，，則ef的長為
4．若順次連線四邊形abcd各邊的中點所得四邊形是矩形，則四邊形abcd一定是 （ ）
a． 矩形 b．菱形 c．對角線互相垂直的四邊形 d．對角線相等的四邊形
5．已知：在等腰梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd，ad=3，bc=7，則梯形的面積是（ ）
abc．25d．
【點評】本題考查了梯形作輔助線的方法，見對角線互相垂直，則平移對角線，利用平移後形成的直角三角形求解。此題關鍵是做輔助線的方法。
6．如圖所示，兩個正方形的面積分別為16、9，兩陰影部分
的面積分別為， ，則等於
a．7 b．6 c．5d．4
7．如圖所示，已知正方形abcd的邊長為1，鏈結ac、bd，
ce平分∠acd交bd於點e，則de
（二）簡答題：
1．如圖，已知平行四邊形abcd，過a作am⊥bc與m，交bd於e，過c作**⊥ａｄ於ｎ，交ｂｄ於ｆ，鏈結af、ce。
（1）求證：四邊形aecf為平行四邊形；
（2）當aecf為菱形，m點為bc的中點時，求ab：ae的值。
【點評】本題涉及了平行四邊形的判定，菱形的性質，直角三角形的有關知識。解決此類綜合問題的關鍵在於根據已知圖形，聯想到它的性質，選擇其中的部分性質進行計算或證明。
2．如圖所示，在矩形abcd中，m、n分別是ad、bc的中點，p、q分別是bm、dn的中點。（1）求證：△mba≌△ndc；
（2）四邊形mpnq是什麼樣的特殊四邊形？請說明理由。
【點評】此題主要考查了菱形的判定與矩形的判定，靈活地應用矩形與菱形的性質是解決問題的關鍵．
3．如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線與相交於點,與相較於點，與相較於，連線。
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若求md的長。
4．已知：如圖1，□的對角線、交於點，
過點與、分別交於點、．
求證：．
【變式1】在圖1中，鏈結哪些線段可以構成新的平行四邊形？為什麼？
【變式2】在圖1中，如果過點再作，分別交、
於、，你又能得到哪些新的平行四邊形？為什麼？
【變式3】在圖1中，若ef與ab、cd的延長線分別交於
點e、f，這時仍有嗎？你還能構造出幾個新的平行四邊形？
【變式4】在圖1中，若改為過a作ah⊥bc，垂足為h，
鏈結ho並延長交ad於g，鏈結gc，則四邊形ahcg是
什麼四邊形？為什麼？
【變式5】在圖1中，若gh⊥bd，gh分別交ad、bc於g、h，
則四邊形bgdh是什麼四邊形？為什麼？
【變式6】在變式5中，若將「□abcd」改為「矩形abcd」，
gh分別交ad、bc於g、h，則四邊形bgdh是什麼四邊形？若，，你能求出gh的長嗎？（這一問題相當於將矩形abcd對折，使b、d重合，求摺痕gh的長。）
略解：∵ab＝6，bc＝8 非曲直 ∴bd＝ac＝10。
設，則．
在rt△abg中，則勾股定理得：，
即，解得gh =
特殊平行四邊形的性質及判定
於點e，交 bca的外角平分線於點f 1 求證 eo fo 2 當點o運動到何處時，四邊形aecf是矩形？並證明你的結論 11 如圖，e為 abcd外一點，且ae ce於點e，be de於點e，求證 四邊形abcd為矩形 12 如圖，已知矩形abcd和點p，1 當點p在圖1中的位置時，求證 s pb...
特殊平行四邊形性質判定綜合運用
摘要 提高特殊平行四邊形的運用能力，為今後深入學習打下堅實的基礎。關鍵詞 特殊平行四邊形 性質 判定 運用平行四邊形是在學習了平行線和三角形之後，是平行線和三角形知識的應用和深化。同時又是為了後面學習矩形 菱形 正方形 圓，甚至高中立體幾何打基礎的，起著承上啟下的橋梁作用。一 平行四邊形本身的性質 ...
平行四邊形與特殊的平行四邊形
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