一元二次不等式：
定義：只含有乙個未知數，未知數的最高次數是2的不等式，叫一元二次不等式。
即：ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c≤0（a≠0）
一元二次不等式的解法
形如一元二次不等式：ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0），通過研究二次函式y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象得出。
問：y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的交點情況有哪幾種？
二次函式、一元二次方程、一元二次不等式解集之間的相互關係：
三、解一元二次不等式
例1：解不等式2x2-3x-2＞0
先求方程的根然後畫出圖象形狀。
若改為：不等式2x2-3x-2＜0。
小結：利用二次函式圖象解一元二次不等式其方法步驟是：
（1）先將二次項係數化為「+」，求出δ和相應方程的解。
（2）再畫出函式圖象，根據圖象寫出不等式的解。
二次函式、一元二次方程、一元二次不等式解集之間的相互關係。
解一元二次不等式的一般步驟：
（1）化不等式為標準式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）
（2）計算△的值，確定方程ax2+bx+c=0的根的情況及求根x1、x2。
（3）根據圖象寫出不等式的解集。
二、含有引數的一元二次不等式的解法
例1：解關於x的不等式x2+5ax+6a2＞0
例2：解關於x的不等式x2-（a+1）x+a＞0
引申：解關於x的不等式ax2+（6a+1）x+6＞0
總結1：對於含參的討論問題要注意：
（1）討論的分界點如何選定
（2）討論要做到不重不漏
三、求引數的值或取值範圍
例3：求函式y=lg（x2-5x-14）的定義域。
引申：若y=lg（x2-5x-14）的定義域為r，求b範圍。
拓展：若y=lg（x2-5x-b）的值域為r，求b範圍。
例4：已知關於x的不等式：（a-2）x2+（a-2）x+1≥0恆成立，試求a的取值範圍。
總結2：含有引數的不等式恆成立的問題（這裡指二次不等式恆成立的問題）
（1）二次不等式ax2+bx+c＞0恆成立 ←→ a＞0，△=b2-4ac＜0
（2）二次不等式ax2+bx+c＜0恆成立 ←→ a＜0，△=b2-4ac＜0
（3）二次不等式ax2+bx+c≥0恆成立 ←→ a＞0，△=b2-4ac≤0
（4）二次不等式ax2+bx+c≤0恆成立 ←→ a＜0，△=b2-4ac≤0
四、解告辭不等式和分式不等式
例5：解不等式（x-1）（x2-x-30）＞0
例6：解不等式（2x2-3x-5）/（3x2-13x+4）≥1
五、課堂作業
1、若方程x2+mx+n=0無實數根，則不等式x2+mx+n＞0的解集是________。
2、已知不等式ax2+bx+2＞0的解事-1/2＜x＜1/3，則a=_______，b=_______。
3、若不等式x2+ax+（a+3）＜0的解集是，則實數a的取值範圍是________。
六、課堂小結
1、內容分析2、運用的數學思想：
（1）解含引數的不等式1）分類討論的思想2） 已知不等式的解集，求引數的值或範圍2）數形結合的思想
（3）不等式中的恆成立為題3）等與不等的劃歸思想
（4）會解簡單的高次不等式和分式不等式
線性規劃求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題。 問題：
若實數x，y滿足不等式組
1、上述不等式組表示的平面區域是什麼？
2、求z=2x+y的最大值與最小值
概念：可行解：滿足線性約束條件的解（x，y）叫可行解。
最優解：使目標函式取得最大或最小值的可行解叫線性規劃問題的最優解。
解線性規劃問題的一般步驟：
第一步：在平面直角座標系中作出可行區域；
第二步：在可行區域內找到最優解所對應的點；
第三步：解方程的最優解，從而求出目標函式的最大值或最小值
應用例題
乙個化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，生產1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t，硝酸鹽18t；生產1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t，硝酸鹽15t。現庫存磷酸鹽10t，硝酸鹽66t。若生產1車皮甲種肥料。
產生的利潤為10000元；若生產1車皮乙種肥料，產生的利潤為5000元。在此基礎上，分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？
a2+b2≥2ab
一、3個等價關係式
（1）a2+b2≥2ab ←→ ab≤（a2+b2）/2 （a，b∈r）
（2）√ab≤（a+b）/2 ←→ ab≤[（a+b）/2]2 （a，b∈r+）
（3）√[(a2+b2)/2]≥（a+b）/2 ←→ （a+b）2/2 （a，b∈r+）
其中當且僅當a=b時取等號。
二、基本不等式成立的三個要素：一正、二定、三相等
三、基本不等式的應用
應用1：判斷代數式或數的大小關係
例1：設a＞0，b＞0，給出下列不等式
（1）a+1/a≥2 （2）（a+1/a）（b+1/b）≥4
（3）（a+b）（1/a+1/b）≥4 （4）a2+2+1/（a2+2）≥2
其中成立的是
等號能成立的是
例2：若a＞b＞1，p=√（lga·lgb），q=1/2（lga+lgb），r=lg[(a+b)/2]，則（ ）
a、r＜p＜q b、p＜q＜r
c、r≤p≤q d、p≤q≤r
應用2：求最大（小）值問題
提醒：利用a+b≥2√ab（a＞0，b＞0），求最值時要注意：
（1）一正：各項均為正數
（2）二定：兩個正數積為定值，和有最小值。
兩個正數和為定值，積有最大值。
（3）三相等：求最值時一定要考慮不等式是否能取「=」，否則會出現錯誤。
（1）構造積為定值，求和的最值
例3：已知x＞0，y＞0，xy=24，求4x+6y的最小值，並說明此時x，y的值。
例4：已知x＞1，求y=x+1/（x-1）的最小值以及取得最小值時x的值。
變式：求y=2+3x+1/（x-1）的最小值。（其中x＞1）
又例：當x≥1時，求4x2+1/x的最小值。
（2）構造和為定值，求積的最值
例5：已知：0＜x＜1/3，求函式y=x（1-3x）的最大值。
應用3：證明不等式
例6：已知a，b，c，d都是正數，求證：
（1）（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd
（2）a+b+c≥√ab+√bc+√ca
例7：已知a，b，c∈r，求證√（a2+b2）+√（b2+c2）+√（c2+a2）≥√2（a+b+c）
應用4：求實際問題中的簡單應用
例8：（1）用籬笆圍乙個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？
（2）一段長為36m的籬笆圍成乙個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？
正弦定理
正弦定理：
在乙個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即a/sina=b/sinb=c/sinc
正弦定理的變形公式（變式）：
（1）a/sina=b/sinb=c/sinc=2r （2r為△abc的外接圓直徑）
（2）a=2rsina b=2rsinb c=2rsinc
（3）sina=a/2r sinb=b/2r sinc=c/2r
（4）sina:sinb:sinc=a:b:c
（5）a2=ab ←→ sin2a=sinbsinc
（6）2a=b+c ←→ 2sina=sinb+sinc
二、正弦定理的應用
應用（1）解三角形
已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫解三角形。
正弦定理可解決解三角形中的兩類問題：
1、已知三角形的兩角和一條邊，求其他兩邊和第三角；
2、已知三角形的兩邊和其中一邊對角，求其他的邊和角。
例1：已知△abc，根據下列條件求相應的三角形中其他邊和角的大小（保留根號或精確到0.1）：
（1）∠a=60°，∠b=45°，a=10
（2）b=3√6，c=6，∠b=120°
（3）a=3，b=4，∠a=60°
應用（2）：判斷與證明
例2：在△abc中，若a/cos（a/2）=b/cos（b/2）=c/cos（c/2），則△abc一定是（ ）
（a）等腰三角形 （b）等腰直角三角形
（c）直角三角形 （d）等邊三角形
例3：在△abc中，若sina=2sinbcosc，sin2a=sin2b+sin2c，試判斷△abc的形狀。
例4：如圖在△abc中，∠a的平分線ad與邊bc相交於點d，求證：bd/dc=ab/ac。
三、總結
1、正弦定理的內容及變形公式
2、正弦定理的應用
3、正確利用△abc中三角a、b、c的關係及誘導公式
四、練習
1、在△abc中，分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
a、a=7，b=14，a=30° b、a=30，b=25，a=150°
c、a=50，b=72，a=135° d、a=25，b=30，a=30°
2、在△abc中，a=100，c=50√2，a=45°，則c=______。
3、在△abc中，已知a=5，b=120°，c=15°，則此三角形最大邊的長為______。
餘弦定理
餘弦定理：
三角形中任何一邊的平方等於其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即：
a2=b2+c2-2abcosa
b2=a2+c2-2abcosb
c2=a2+b2-2abcosc
可以用向量來研究這個問題。
還可以用解析法來證明餘弦定理：
如圖，以a為座標原點，ab所在的直線為x軸，建立座標系：
則a（0,0），b（c,0），c（bcosa,bsina）
|bc|2=a2=（c-bcosa）2+（0-bsina）2=b2+c2-2bccosa
應用1：求三角形中的邊與角
例1：如圖，在△abc中，已知a=5，b=4，∠c=120°，求c。
例2：如圖，△abc的頂點為a（6,5），b（-2,8）和c（4,1），求∠a。
例3：在△abc中，
（1）若sin2a=sin2b+sin2c+sinbsinc，求∠a。
（2）若sina:sinb:sinc=（√3-1）:（√3-1）:10，求最大的內角。
應用2：證明恒等式或判斷三角形的形狀
例4：求證：在△abc中，a=bcosc+ccosb，b=ccosa+acosc，c=acosb+bcosa。
例5：在△abc中，若b2sin2c+c2sin2b=2bccosbcosc，試判斷三角形的形狀。
總結：解三角形問題可以分為4種型別。已知兩角與一邊、兩邊與一邊對角、兩邊與其夾角、三邊，求其餘邊或角。
常用結論：
（1）a+b+c=π
（2）sin(a+b)=sinc
（3）cos(a+b)=-cosc
（4）sin(a+b)/2=cosc/2
（5）a
正余弦綜合應用
利用三角形解應用題中的有關名詞、術語：
（1）坡度：斜面與地平面所成的角度。
（2）仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角。
（3）方位角：從正北方向順時針轉到目標方向的水平角。
（4）視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角。
（5）基線：在測量中，我們根據測量需要適當確定的線段叫基線
實際問題→數學問題（三角形）→數學問題的解（解三角形）→實際問題的解
應用1：測量距離
例1：設a、b兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離。
測量者在a的同側，在所在的河岸邊選定一點c，測出ac的距離是55m，∠bac=51°，∠acb=75°，求a、b兩點間的距離（精確到0.1m）。
例2：a、b兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量兩點間的距離的方法。
變式訓練：若在河岸選取相距40公尺的c、d兩點，測得∠bca=60°，∠acd=30°，∠cdb=45°，∠bda=60°，求a、b兩點間距離。
練習1：一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行。
在a處看燈塔s在船的北偏東20°的方向，30min後航行到b處，在b處看燈塔在船的北偏東65°的方向，已知距離此燈塔6.5n mile以外的海區為航行安全區域，這艘船可以繼續沿正北方向航行嗎？
應用2：測量高度
例3：ab是底部b不可到達的乙個建築物，a為建築物的最高點，設計一種測量建築物高度ab的方法。
例4：如圖，在山頂鐵塔上b處測得地面上一點a的俯角α=54°40′，在塔底c處測得a處的俯角β=50°1′。已知鐵塔bc部分的高為27.3m，求出山高cd（精確到m）。
練習2：如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到a處時測得公路北側遠處一山頂d在西偏北15°的方向上，行駛5km後到達b處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度cd
應用3：測量角度
例5：一艘海輪從a出發，沿北偏東75°的方向航行67.5n mile後到達海島b，然後從b出發，沿北偏東32°的方向航行54.
0n mile後到達海島c，如果下次航行直接從a出發到達c，此船應該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到0.1°，距離精確到0.01n mile）？
例6：我艦在敵島a南偏西50°相距12海浬的b處，發現敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海浬/小時的速度航行。問我艦需以多大速度、沿什麼方向航行才能用2小時追上敵艦？
練習3：3.5m長的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在離堤足1.2m的地面上，另一端在沿堤上2.8m的地方，求石堤對地面的傾斜角。
應用4：解決三角形中的面積問題
常用三角形的面積公式：
1、s=ah1/2=bh2/2=ch3/2（h1為a邊上的高）
2、s=absinc/2=bcsina/2=acsinb/2
3、s=abc/4r（r為△abc的外接圓半徑）
4、s=2r2sinasinbsinc（r為△abc的外接圓半徑）
5、s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] （p=(a+b+c)/2）
6、s=（a+b+c)）r/2（r為△abc的內切圓半徑）
例7：在△abc中，根據下列條件，求三角形的面積s（精確到0.1cm2）。
（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，b=148.5°
（2）已知c=62.7°，c=65.8°，b=3.16cm
（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm
例8：在某市進行城市環境建設中，要把乙個三角形的區域改造成市內公園，經過測量得到這個三角形區域的三條邊長分別為68cm，88cm，127cm。這個區域的面積是多少（精確到0.
1cm2）？
思考題：
在△abc中，cosa=-5/13，cosb=3/5。
（1）求sinc的值。
（2）設bc=5，求△abc的面積
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