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高中數學
第一講集合
一、知識精點講解
1．集合：某些指定的物件集在一起成為集合。
（1）集合中的物件稱元素，若a是集合a的元素，記作；若b不是集合a的元素，記作；
（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；
確定性：設a是乙個給定的集合，x是某乙個具體物件，則或者是a的元素，或者不是a的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；
互異性：乙個給定集合中的元素，指屬於這個集合的互不相同的個體（物件），因此，同一集合中不應重複出現同一元素；
無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同於元素的排列順序無關；
（3）表示乙個集合可用列舉法、描述法或圖示法；
列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，寫在大括號內；
描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。
具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特徵。
注意：列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定採用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜採用列舉法。
（4）常用數集及其記法：
非負整數集（或自然數集），記作n正整數集，記作n*或n+；
整數集，記作z； 有理數集，記作q； 實數集，記作r。
2．集合的包含關係：
（1）集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，則稱a是b的子集（或b包含a），記作ab（或）；
集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若ab且ba，則稱a等於b，記作a=b；若ab且a≠b，則稱a是b的真子集，記作a b；
（2）簡單性質：1）aa；2）a；3）若ab，bc，則ac；4）若集合a是n個元素的集合，則集合a有2n個子集（其中2n－1個真子集）；
3．全集與補集：
（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作u；
（2）若s是乙個集合，as，則，=稱s中子集a的補集；
4．交集與並集：
（1）一般地，由屬於集合a且屬於集合b的元素所組成的集合，叫做集合a與b的交集。交集。
（2）一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的並集。。
注意：求集合的並、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與並集的關鍵是「且」與「或」，在處理有關交集與並集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法。
第二講函式概念與表示
一、知識精點講解
1．函式的概念：
設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式。記作：
y=f(x)，x∈a。其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
注意：（1）「y=f(x)」是函式符號，可以用任意的字母表示，如「y=g(x)」；
（2）函式符號「y=f(x)」中的f(x)表示與x對應的函式值，乙個數，而不是f乘x。
2．構成函式的三要素：定義域、對應關係和值域
（1）解決一切函式問題必須認真確定該函式的定義域，函式的定義域包含三種形式：
①自然型：指函式的解析式有意義的自變數x的取值範圍（如：分式函式的分母不為零，偶次根式函式的被開方數為非負數，對數函式的真數為正數，等等）；
②限制型：指命題的條件或人為對自變數x的限制，這是函式學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；
③實際型：解決函式的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變數x的實際意義。
（2）求函式的值域是比較困難的數學問題，中學數學要求能用初等方法求一些簡單函式的值域問題。
①配方法（將函式轉化為二次函式）；②判別式法（將函式轉化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質）；④函式法（運用基本函式性質，或抓住函式的單調性、函式圖象等）。
3．兩個函式的相等：
函式的定義含有三個要素，即定義域a、值域c和對應法則f。當且僅當兩個函式的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函式才是同乙個函式。
4．區間：區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；
5．對映的概念
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f：
ab」。
函式是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件「非空數集」弱化為「任意兩個非空集合」，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關係，這種的對應就叫對映。
注意：（1）這兩個集合有先後順序，a到b的射與b到a的對映是截然不同的．其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。
（2）「都有唯一」什麼意思？
包含兩層意思：一是必有乙個；二是只有乙個，也就是說有且只有乙個的意思。
6．常用的函式表示法：（1）解析法： （2）列表法：（3）圖象法：
7．分段函式
若乙個函式的定義域分成了若干個子區間，而每個子區間的解析式不同，這種函式又稱分段函式；
8．復合函式
若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那麼y=f[g(x)]稱為復合函式，u稱為中間變數，它的取值範圍是g(x)的值域。
第三講函式的基本性質
一、要點精講
1．奇偶性
（1）定義：如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函式；如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函式。
如果函式f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.如果函式同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函式，又是偶函式。
注意： 函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性，函式的奇偶性是函式的整體性質；
由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的乙個必要條件是，對於定義域內的任意乙個x，則－x也一定是定義域內的乙個自變數（即定義域關於原點對稱）。
（2）利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：
首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；
確定f(－x)與f(x)的關係；
作出相應結論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式。
（3）簡單性質：
①圖象的對稱性質：乙個函式是奇函式的充要條件是它的圖象關於原點對稱；乙個函式是偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸對稱；
②設，的定義域分別是，那麼在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．單調性
（1）定義：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i， 如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1f(x2)），那麼就說f(x)在區間d上是增函式（減函式）；
注意： 函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；
必須是對於區間d內的任意兩個自變數x1，x2；當x1（2）如果函式y=f(x)在某個區間上是增函式或是減函式，那麼就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間d叫做y=f(x)的單調區間。
（3）設復合函式y= f[g(x)]，其中u=g(x) , a是y= f[g(x)]定義域的某個區間，b是對映g : x→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 a上是增（或減）函式，y= f(u)在b上也是增（或減）函式，則函式y= f[g(x)]在a上是增函式；
②若u=g(x)在a上是增（或減）函式，而y= f(u)在b上是減（或增）函式，則函式y= f[g(x)]在a上是減函式。
（4）判斷函式單調性的方法步驟：
任取x1，x2∈d，且x1 作差f(x1)－f(x2)；
變形（通常是因式分解和配方）；
定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
下結論（即指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）。
（5）簡單性質
①奇函式在其對稱區間上的單調性相同；
②偶函式在其對稱區間上的單調性相反；
③在公共定義域內：
增函式增函式是增函式；
減函式減函式是減函式；
增函式減函式是增函式；
減函式增函式是減函式。
3．最值
（1）定義：
最大值：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i，如果存在實數m滿足：①對於任意的x∈i，都有f(x)≤m；②存在x0∈i，使得f(x0) = m。
那麼，稱m是函式y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i，如果存在實數m滿足：①對於任意的x∈i，都有f(x)≥m；②存在x0∈i，使得f(x0) = m。
那麼，稱m是函式y=f(x)的最大值。
注意： 函式最大（小）首先應該是某乙個函式值，即存在x0∈i，使得f(x0) = m；
函式最大（小）應該是所有函式值中最大（小）的，即對於任意的x∈i，都有f(x)≤m（f(x)≥m）。
（2）利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值的方法：
利用二次函式的性質（配方法）求函式的最大（小）值；
利用圖象求函式的最大（小）值；
利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值：
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
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高中數學知識精簡版 必修1 第一章集合 常用的結論 1 a是b的子集的時候不要忘了a為空集啊！有關集合的題目一定要看清集合屬性是點集還是數集 第二章 函式 一 函式值域的求法 1 直接觀察法.2 配方法.3 判別式法.4 函式有界性法 反表示 5 函式單調性法.6 換元法.7 不等式法 基本不等式的...
高中數學知識點整理版
1 含有個元素的有限集合，其子集 真子集 非空子集 非空真子集的個數依次為 2 指數式 對數，3 函式影象與軸垂線至多乙個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個 3 函式影象一定是座標系中的曲線，但座標系中的曲線不一定能成為函式影象 單調性和奇偶性 1 奇函式在關於原點對稱的區間上若有單調性...
高中數學知識點整理彙總
第一章計數原理 第二章隨機變數及其分布 第三章統計案例 第三章計數原理 知識點 1 分類加法計數原理 做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事情共有m1 m2 mn種不同的方法。2 分步乘法計數...