2023年特級教師高考複習方法指導--高中數學知識點總結
1．對於集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的「確定性、互異性、無序性」。
如：集合中元素各表示什麼？
2 進行集合的交、並、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況。
注重借助於數軸和文氏**集合問題。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合，若，則實數的值構成的集合為答： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3．注意下列性質：
（1）集合的所有子集的個數是
（2）若
（3）德摩根定律：
4．你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）
如：已知關於的不等式的解集為，若且，求實數的取值範圍。
5．可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連線詞有「或」（）、「且」（）和「非」（）
若為真，當且僅當均為真
若為真，當且僅當至少有乙個為真
若為真，當且僅當為假
6．命題的四種形式及其相互關係是什麼？
（互為逆否關係的命題是等價命題。）
原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。
7．對對映的概念了解嗎？對映f：a→b，是否注意到a中元素的任意性和b中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成對映？
（一對一，多對一，允許b中有元素無原象。）
8．函式的三要素是什麼？如何比較兩個函式是否相同？
（定義域、對應法則、值域）
9．求函式的定義域有哪些常見型別？
例：函式的定義域是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答：10．如何求復合函式的定義域？
如：函式的定義域是，，則函式的定義域是
答：11．求乙個函式的解析式或乙個函式的反函式時，註明函式的定義域了嗎？
如：，求
令，則，∴，∴，
∴12．反函式存在的條件是什麼？
（一一對應函式）
求反函式的步驟掌握了嗎？
（①反解x；②互換x、y；③註明定義域）
如求函式的反函式
答：13．反函式的性質有哪些？
①互為反函式的圖象關於直線y＝x對稱；
②儲存了原來函式的單調性、奇函式性；
③設的定義域為，值域為，，，則，∴
14．如何用定義證明函式的單調性？
（取值、作差、判正負）
如何判斷復合函式的單調性？
（外層），（內層），則
當內、外層函式單調性相同時，為增函式，否則為減函式
如：求的單調區間。
設，由，則且，，如圖
當時，，又，∴
當時，，又，∴
∴……）
15．如何利用導數判斷函式的單調性？
在區間內，若總有，則為增函式。（在個別點上導數等於零，不影響函式的單調性），反之也對，若呢？
如：已知，函式在上是單調增函式，則的最大值是
a．0b．1c．2d．3
令，則或，
由已知在上是增函式，則，即，∴的最大值為3
16．函式具有奇偶性的必要（非充分）條件是什麼？
（定義域關於原點對稱）
若總成立為奇函式函式影象關於原點對稱
若總成立為偶函式函式影象關於軸對稱
注意如下結論：
（1）在公共定義域內：兩個奇函式的乘積是偶函式；兩個偶函式的乘積是偶函式；乙個偶函式與奇函式的乘積是奇函式。
（2）若是奇函式且定義域中有原點，則
如：若為奇函式，則實數
∵為奇函式，，又，∴，即，∴
又如：為定義在上的奇函式，當時，，求在上的解析式。
令，則，
又為奇函式，∴
又，∴17．你熟悉週期函式的定義嗎？
若存在實數，在定義域內總有，則為週期函式，t是乙個週期。
如：若，則
答：是週期函式，為的乙個週期。
又如：若影象有兩條對稱軸，即，，則是週期函式，為乙個週期
如圖：18．你掌握常用的圖象變換了嗎？
與的影象關於軸對稱
與的影象關於軸對稱
與的影象關於原點對稱
與的影象關於直線對稱
與的影象關於直線對稱
與的影象關於點對稱
將影象注意如下「翻摺」變換：
如：作出及的影象
19．你熟練掌握常用函式的圖象和性質了嗎？
（1）（2）反比例函式：推廣為是中心的雙曲線。
（3）二次函式的影象為拋物線
頂點座標為，對稱軸
開口方向：，向上，函式
向下，應用：①「三個二次」（二次函式、二次方程、二次不等式）的關係——二次方程，時，兩根為二次函式的影象與軸的兩個交點，也是二次不等式解集的端點值。
②求閉區間［m，n］上的最值。
③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。
④一元二次方程根的分布問題。
如：二次方程的兩根都大於，一根大於，一根小於
（4）指數函式：
（5）對數函式：
由圖象記性質！（注意底數的限定！）
（6）「對勾函式」
利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什麼？
20．你在基本運算上常出現錯誤嗎？
指數運算：，，，
對數運算：
對數恒等式：
對數換底公式：
21．如何解抽象函式問題？
（賦值法、結構變換法）
如：（1），滿足，證明為奇函式。
先令，再令
（2），滿足，證明為偶函式。
先令，∴，
∴（3）證明單調性：
22．掌握求函式值域的常用方法了嗎？
（二次函式法（配方法），反函式法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函式單調性法，導數法等。）
如求下列函式的最值：
（1）（2）
（3）（4）（設）
（5）23．你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為r的弧長公式和扇形面積公式嗎？
24．熟記三角函式的定義，單位圓中三角函式線的定義
如：若，則的大小順序是
又如：求函式的定義域和值域。
∵，∴∴
25．你能迅速畫出正弦、余弦、正切函式的圖象嗎？並由圖象寫出單調區間、對稱點、對稱軸嗎？
對稱點為
的增區間為，減區間為，影象的對稱點為，對稱軸為
的增區間為，減區間為，影象的對稱點為，對稱軸為
的增區間為
26．正弦型函式的影象和性質要熟記。（或）
（1）振幅，週期
若，則為對稱軸；若，則為對稱點，反之也對
（2）五點作圖：令依次為，求出與，依點（，）作圖象。
（3）根據影象求解析式。（求值）
如圖列出，解條件組求值
正切型函式
27．在三角函式中求乙個角時要注意兩個方面——先求出某乙個三角函式值，再判定角的範圍。
如：，求值。
∵，∴，∴，∴
28．在解含有正、余弦函式的問題時，你注意（到）運用函式的有界性了嗎？
如：函式的值域是
時，，時，，∴
29．熟練掌握三角函式圖象變換了嗎？
（平移變換、伸縮變換）
平移公式：
（1）點，則
（2）曲線沿向量平移後的方程為
如：函式的影象經過怎樣的變換才能得到的圖象？
30．熟練掌握同角三角函式關係和誘導公式了嗎？
如： 稱為1的代換。
「」化為的三角函式——「奇變，偶不變，符號看象限」，「奇」、「偶」指k取奇、偶數。
如又如：函式，則的值為
a．正值或負值 b．負值c．非負值d．正值
，∵31．熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應用了嗎？
理解公式之間的聯絡：，，
應用以上公式對三角函式式化簡。（化簡要求：項數最少、函式種類最少，分母中不含三角函式，能求值，盡可能求值。）
具體方法：
（1）角的變換：如
（2）名的變換：化弦或化切
（3）次數的變換：公升、降冪公式
（4）形的變換：統一函式形式，注意運用代數運算。
如：已知，，求的值。
由已知得：，∴
又，∴32．正、餘弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現邊、角轉化，而解斜三角形？
餘弦定理：
（應用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）
正弦定理：
∵，∴，∴
如：中，
（1）求角
（2）若，求的值
（1）由已知得
又，∴，∴或（舍）
又，∴（2）由正弦定理及得
，∴33．用反三角函式表示角時要注意角的範圍。
反正弦：
反余弦：
反正切：
34．不等式的性質有哪些？
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）或
如：若，則下列結論不正確的是
ab． c． d．
答案：c
35．利用均值不等式：
求最值時，你是否注意到「」且「等號成立」時的條件，積（）和（）其中之一為定值？（一正、二定、三相等）
注意如下結論：
，當且僅當時等號成立
，當且僅當時等號成立
，則如：若的最大值為
設，當且僅當成立，
又，∴時，
又如：，則的最小值為
∵，∴最小值為
36．不等式證明的基本方法都掌握了嗎？
（比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等）
並注意簡單放縮法的應用。
如：證明
37．解分式不等式的一般步驟是什麼？
（移項通分，分子分母因式分解，x的係數變為1，穿軸法解得結果。）
38．用「穿軸法」解高次不等式——「奇穿，偶切」，從最大根的右上方開始
如：39．解含有引數的不等式要注意對字母引數的討論
如：對數或指數的底分或討論
40．對含有兩個絕對值的不等式如何去解？
（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最後取各段的並集。）
如：解不等式
解集為41．會用不等式證明較簡單的不等問題
如：設，實數滿足，求證：
證明：又，∴，∴
（按不等號方向放縮）
42．不等式恆成立問題，常用的處理方式是什麼？（可轉化為最值問題，或「△」問題）
如：恆成立的最小值
恆成立的最大值
能成立的最小值
如：對於一切實數，若恒成立，則的取值範圍是
設，它表示數軸上到兩定點和3距離之和
，∴，即
或者：，∴
43．等差數列的定義與性質
定義：（為常數），
等差中項：成等差數列
前項和性質：是等差數列
（1）若，則
（2）數列仍為等差數列，仍為等差數列
（3）若三個成等差數列，可設為
（4）若是等差數列，為前項和，則
（5）為等差數列（為常數，是關於的常數項為0的二次函式）
的最值可求二次函式的最值；或者求出中的正、負分界項，
即：當，解不等式組可得達到最大值時的值。
當，由可得達到最小值時的值。
如：等差數列，，則
由，∴又，∴
∴，∴44．等比數列的定義與性質
定義：（為常數，），
等比中項：成等比數列，或
前項和：（要注意！）
性質：是等比數列
（1）若，則
（2）仍為等比數列
45．由求時應注意什麼？
時，，時，
46．你熟悉求數列通項公式的常用方法嗎？
例如：（1）求差（商）法
如：數列，，求
解：時時
①—②得：，∴，∴
［練習］數列滿足，求
注意到，代入得
又，∴是等比數列，
時，（2）疊乘法
如：數列中，，求
解：，∴
又，∴（3）等差型遞推公式
由，求，用迭加法
時，兩邊相加得
∴［練習］數列中，，求
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高中數學知識梳理
第二章函式 一 函式的定義域 1 已知的定義域為，求的定義域 2 已知函式的定義域為，求的定義域 二 函式的解析式 1 已知，求 2 已知，求 3 已知，求 4 已知為一次函式，求 5 已知，求 6 函式為奇函式，求 7 已知函式，若，則的值為 三 函式的值域和最值 定義域優先 初等函式的值域，如一...