點到直線的距離」一課的教學**
陶維林 （江蘇南京師大附中 210003）
教學需要研究，尤其需要加強對教學任務的分析，這樣就可以採用恰當的方法組織教學，使教學卓有成效．本文通過對「點到直線的距離」各種處理方法的分析，**如何設計這堂課的教學．
一．提出問題
數學教學應當從問題開始，首先提出問題．
已知直線l：ax＋by＋c＝0，點p（x0，y0）．
求點p到直線l的距離d．（用a、b、c、x0、y0表示d）
二．各種解決方案及評析
這裡主要分為兩類．一類對圖形幾何特徵的分析，另一類是對目標的分析．
1．對圖形幾何特徵的分析
「新課程標準」指出：解析幾何的本質是代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想．因此，應該通過分析圖形的幾何特徵，提出問題，找出解決問題的途徑，用代數的方法去解決．在這個過程中，「數」與「形」充分結合，相互支撐．
方法一直接法
（1）如圖1，寫出直線pq的方程：bx－ay－bx0＋ay0＝0；
（2）解方程組求出垂足q的座標；
（3）用距離公式求出d＝|pq|．
評注：根據點到直線的距離的概念，這是學生不需要動多少腦筋就可以想到的方法，處於學生能力的核心地帶．這一方法的特點是運算量較大，思維能力要求比較低，教育價值不是太大．
圖1圖2
方法二降維法
（1）過p作x軸的垂線，交直線l於m．
（2）求出點m的縱座標，求出|pm|；（這很容易）
（3）在rt△pmq中，|pq|＝|pm|cos∠mpq；
（4）而tan∠mpq＝－．（圖2）
評注：把斜線段pq長度的問題轉化成為與座標軸平行（或在座標軸上）線段長度的問題．因為與座標軸平行（或在座標軸上）的線段長度的問題是「一維」問題，體現了「降維」的思想方法，這在解析幾何中是非常重要的．但是，這個方法需要進行由tan∠mpq到cos∠mpq的三角變換，在未學習過三角之前學生力所難及，即便學習過三角難度也大．
方法三面積法
如圖3，與方法二類似，接著
（1） 過p作y軸的垂線，交直線l於n；
（2） 求出點n的橫座標，求出|pn|的長；
（3）用勾股定理求出|mn|，用「面積法」求出線段|pq|的長，|pq|=．
評注：求出|pm|、|pn|的長，用「面積法」求出線段|pq|的長圖3
是學生在平面幾何中已有的經驗．解析幾何的教學要注意學生已有的平面幾何經驗（知識與方法）．這個方法迴避了方法二中的三角變換，降低了難度．
2．對目標的分析
通過分析目標（代數式結構）尋求解法是非常重要的另乙個方面．
要求出點p（x0，y0）到直線l的距離．如圖1，設q（x1，y1），只要求出d＝．
方法四整體法
要求d＝（其中（x1，y1）是點q的座標），可見，只要求出 x1－x0、y1－y0就可以了．因此，把直線pq的方程寫成 b（x－x0）－a（y－y0）＝0．這是已知直線的斜率、所經過的點的座標時方程的寫法，是在學習「直線與方程」時已經掌握的．
把直線l的方程寫成 a（x－x0）＋b（y－y0）＝ －（ax0＋by0＋c）．
於是，把方程
b（x－x0）－a（y－y0）＝0，
a（x－x0）＋b（y－y0）＝－（ax0＋by0＋c）
兩邊平方後相加，得到
（a2＋b2）（x1－x0）2＋（a2＋b2）（y1－y0）2＝（ax0＋by0＋c）2，所以，
（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝．
兩邊開平方，取算術根求出d．
評注：這一方法由於加強了對任務的分析，簡化了計算過程，運算量小，但是思維層次要求較高，有一定的教育價值．
方法五向量法
如圖4，|pq|是向量（p1是直線l上任意一點）在過p垂直於l的直線上的射影，聯絡向量數量積的意義發現，可以利用向量的數量積來解，或者從代數式結構a（x1－x0）＋b（y1－y0）出發分析，構造向量
（a，b）與（x1－x0，y1－y0），用它們的數量積表示a（x1－x0）＋b（y1－y0）．（圖4）
設向量n＝（a，b），p1（x1，y1），θ＝∠p1pq ，而d＝||cosθ．
因為 n·＝| n |||cosθ，
所以，d＝＝
＝＝（因為ax1＋by1＋c＝0）．
評注：這個方法並不容易，是向量數量積的乙個應用圖4
需要構造兩個向量，熟悉向量數量積的意義以及加強對任務的分析．
方法六最值法
點到直線的距離是該點到直線上任意一點距離的最小值，因此可以通過求最小值的方法來解決．
如圖4，設p（x0，y0），p1（x，y），於是y＝－．
|p1p|2＝（x－x0）2＋（y－y0）2
＝（x－x0）2＋（ax＋by0＋c）2
x－）2
＋．當x＝時，
|p1p|2的最小值是
＝．評注：這個方法運算量大，比較繁瑣，尤其是最後整理成完全平方的過程要求較高．
方法七不等式法
從代數式結構a（x1－x0）＋b（y1－y0）出發分析，利用柯西不等式產生
a（x1－x0）＋b（y1－y0）．設p（x0，y0），p1（x1，y1）．
||2＝（a2＋b2）≥＝
（因為ax1＋by1＋c＝0）．
評注：這個方法技巧性強，難度太大．
三．教學**
明確了各種處理方法的難易程度、運算量以及思維價值，再根據學生的實際情況，就可以知道在這麼多方法中選擇何種方法用於教學比較恰當．由上分析可見，方法
三、四比較適合於課堂教學．在教師的引導下，由學生合作、討論，是可以發現這些方法的，發現後可以各自去實施（比如板演）．筆者查閱了3套普通高中課程標準實驗教科書（數學2），發現其中有2套採用了方法三，1套採用了方法四．方法一學生很容易想到，思維層次較低，不必作為課堂教學的主要內容；方法二對三角知識要求較高；方法
五、六、七不太適合於課堂教學．方法六可以作為課外作業，訓練學生的耐心；方法七，可以作為課外數學興趣小組研究．
這節課的教學目的，顯然不僅是為了得到乙個公式，要結論，更要過程．通過對幾何圖形結構或者對目標任務的分析，不僅尋找出解決問題的方法得到這個公式，更重要的是教會學生學會研究問題．比如，解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何問題，要加強圖形結構的分析，再比如，要注意初中平面幾何已有的經驗等等，不僅授人以「魚」，更是教人以「漁」．
教師提出的問題要做到，既不是太容易，處於學生能力的核心地帶，也不是太難，讓學生無法解決．要符合思維「最近發展區」的原則，讓學生通過一定的努力才能解決．數學活動又應該體現數學思維活動的特點，問題要有一定的思維價值．
參考資料
1．人民教育出版社．普通高中課程標準實驗教科書．數學2（a版）．2023年5月第1版．
2．人民教育出版社．普通高中課程標準實驗教科書．數學2（b版）．2023年7月第1版．
3．江蘇教育出版社．普通高中課程標準實驗教科書．數學2．2023年8月第1版．
發表在2023年9月《數學通報》。
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