專題17 直接證明與間接證明
學一學------基礎知識結論
1.綜合法證明
（1）綜合法的的定義
一般地，從命題的已知條件出發，利用公理、已知的定義及定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.
（2）綜合法的的基本思路：執因索果
綜合法又叫「順推證法」或「由因導果法」.它是由已知走向求證，即從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最後匯出待證結論或需求的問題．
綜合法這種由因導果的證明方法，其邏輯依據是三段論式的演繹推理方法．
（3）綜合法的思維框圖：
用表示已知條件，為定義、定理、公理等，表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：
（已知） （逐步推導結論成立的必要條件） （結論）
溫馨提醒：（1）從「已知」看「可知」，逐步推出「未知」，由因導果，其逐步推理實際上是尋找它的必要條件；（2）用綜合法證明不等式，證明步驟嚴謹，逐層遞進，步步為營，條理清晰，形式簡潔，宜於表達推理的思維軌跡；（3）因用綜合法證明命題「若a則d」的思考過程可表示為：
（4）綜合法證明不等式時常用的不等式
（1）a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時取「=」號）；
（2）（a，b∈r*，當且僅當a=b時取「=」號）；
（3）a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；
（4）（a，b同號）；（a，b異號）；
（5）a，b∈r，，
（6）不等式的性質
定理1 對稱性：a＞bb＜a。
定理2 傳遞性：。
定理3 加法性質：。
推論 。
定理4 乘法性質：。
推論1 。
推論2 。
定理5 開方性質：。
2.分析法證明
（1）分析法的定義
一般地，從需要證明的命題出發，分析使這個命題成立的充分條件，逐步尋找使命題成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立（已知條件、定理、定義、公理等），或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種證明方法，叫做分析法.
（2）分析法的基本思路：執果索因
分析法又叫「逆推證法」或「執果索因法」.它是從要證明的結論出發，分析使之成立的條件，即尋求使每一步成立的充分條件，直到最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.
分析法這種執果索因的證明方法，其邏輯依據是三段論式的演繹推理方法。
（3）分析法的思維框圖
用表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定理等，所要證明的結論，則用分析法證明可用框圖表示為：
（結論） （逐步尋找使結論成立的充分條件） （已知）
（4）分析法的格式
要證……，只需證……，只需證……，因為……成立，所以原不等式得證。
溫馨提醒：（1）分析法是綜合法的逆過程，即從「未知」看「需知」，執果索因，逐步靠攏「已知」，其逐步推理，實際上是尋找它的充分條件．（2）由於分析法是逆推證明，故在利用分析法證明時應注意邏輯性與規範性，即分析法有獨特的表述．
3．綜合法與分析法的橫向聯絡
（1） 綜合法是把整個不等式看做乙個整體，通過對欲證不等式的分析、觀察，選擇恰當不等式作為證題的出發點，其難點在於到底從哪個不等式出發合適，這就要求我們不僅要熟悉、正確運用作為定理性質的不等式，還要注意這些不等式進行恰當變形後的利用．
分析法的優點是利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握，而綜合法的優點是宜於表述，條理清晰，形式簡潔．
我們在證明不等式時，常用分析法尋找解題思路，即從結論出發，逐步縮小範圍，進而確定我們所需要的「因」，再用綜合法有條理地表述證題過程．分析法一般用於綜合法難以實施的時候．
（2） 有些不等式的證明，需要把綜合法和分析法聯合起來使用：根據條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論q；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論p．若由p可以推出q成立，就可以證明結論成立，這種邊分析邊綜合的證明方法，稱之為分析綜合法，或稱「兩頭擠法」．
分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關係，分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點．
命題「若p則q」的推演過程可表示為：
4.反證法證題
間接證明不是從正面確定命題的真實性，而是證明它的反面為假，或改證它的等價命題為真，間接地達到目的，反證法是間接證明的一種基本方法．
（1）反證法定義
一般地，首先假設要證明的命題結論不正確，即結論的反面成立，然後利用公理，已知的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實等矛盾的結論，以此說明假設的結論不成立，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.
（2）反證法的基本思路：假設——矛盾——肯定」
①分清命題的條件和結論．
②做出與命題結論相矛盾的假設．
③由假設出發，結合已知條件，應用演繹推理方法，推出矛盾的結果．
④斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所做的假定不真，於是原結論成立，從而間接地證明原命題為真．
（3）反證法的格式：
用反證法證明命題「若p則q」時，它的全部過程和邏輯根據可以表示如下：
溫馨提醒：
（1）反證法是間接證明的一種基本方法.
它是先假設要證的命題不成立，即結論的反面成立，在已知條件和「假設」這個新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設等相矛盾的結論，從而判定結論的反面不能成立，即證明了命題的結論一定是正確的.
(2) 反證法的優點：對原結論否定的假定的提出，相當於增加了乙個已知條件.
（4）反證法的一般步驟：
（1）反設：假設所要證明的結論不成立，假設結論的反面成立；
（2）歸謬：由「反設」出發，通過正確的推理，匯出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理、反設及明顯的事實矛盾或自相矛盾；
（3）結論：因為推理正確，產生矛盾的原因在於「反設」的謬誤，既然結論的反面不成立，從而肯定了結論成立．
溫馨提醒：
（1）結論的反面即結論的否定，要特別注意：
「都是」的反面為「不都是」，即「至少有乙個不是」，不是「都不是」；
「都有」的反面為「不都有」，即「至少有乙個沒有」，不是「都沒有」；
「都不是」的反面是「部分是或全部是」，即「至少有乙個是」，不是「都是」；
「都沒有」的反面為「部分有或全部有」，即「至少有乙個有」，不是「都有」
（2）歸謬的主要型別：
①與已知條件矛盾；
②與假設矛盾（自相矛盾）；
③與定義、定理、公理、事實矛盾．
學一學------方法規律技巧
間接證明(反證法)
反證法體現出正難則反的思維策略（補集的思想）和以退為進的思維策略，故在解決某些正面思考難度較大和探索型命題時，有獨特的效果．常用的有這樣幾方面：① 要證的結論與條件之間的聯絡不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；比如「存在性問題、唯一性問題」等；② 如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.比如帶有「至少有乙個」或「至多有乙個」等字樣的數學問題.
例1、已知f(x)＝ax＋(a＞1)．
(1) 證明f(x)在(－1，＋∞)上為增函式；
(2) 用反證法證明方程f(x)＝0沒有負數根．
【答案】詳見解析
【解析】 (1) 設－1＜x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，ax1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，從而f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＝ax1(ax2－x1－1)＋＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函式．
(2) 設存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)＝0，則ax0＝－.
由0＜ax0＜1 0＜－＜1，即＜x0＜2，此與x0＜0矛盾，故x0不存在．
高二數學寒假作業專題17直接證明與間接證明背
專題17 直接證明與間接證明 背一背 1.綜合法證明 1 定義 一般地，從命題的已知條件出發，利用公理 已知的定義及定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.2 綜合法的的基本思路 執因索果 綜合法又叫 順推證法 或 由因導果法 它是由已知走向求證，即從數學...
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第1天月日星期 學習導航 理解不等式關係及其在數軸上的表示,能用作差法比較兩個數 式 的大小,在比較兩數的大小時,能應用配方法,分解因式法,分類討論法等數學方法 理解並掌握不等式的性質及證明過程,能利用不等式的性質證明一些比較簡單的不等式 能利用不等式的性質求某些變數或代數式的範圍.能用不等式的性質...
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高二物理寒假作業 1 廣東金山中學2012屆高三期末 35 如圖，正方形區域abcd邊長l 8cm，內有平行於ab方向指向bc邊的勻強電場，場強e 3750 v m，一帶正電的粒子電量q 10 10c，質量m 10 20kg，沿電場中心線ro飛入電場，初速度v0 2 106m s，粒子飛出電場後經過...