解三角形
經典例題
問題一：利用正弦定理解三角形
【例1】在中，若，,，則
【例2】在△abc中，已知a=,b=,b=45°,求a、c和c.
問題二：利用餘弦定理解三角形
【例3】設的內角所對的邊分別為.已知，，.
（ⅰ）求的周長，（ⅱ）求的值.
【例4】（2010重慶文數）設的內角a、b、c的對邊長分別為a、b、c,且3+3-3=4bc .
(ⅰ) 求sina的值；(ⅱ)求的值.
若條件改為：？
2 .在△abc中，a、b、c分別是角a，b，c的對邊，且=-.
（1）求角b的大小；（2）若b=，a+c=4，求△abc的面積.
問題三：正弦定理餘弦定理綜合應用
【例5】（2011山東文數）在abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c．已知．
（i）求的值；（ii）若cosb=，
【注】「邊化正弦，正弦化邊」「余弦直接代入」
考慮以下式子：，，
【例6】（2009全國卷ⅰ理）在中，內角a、b、c的對邊長分別為、、，已知，且求b
【注】對已知條件(1)左側是二次的右側是一次的,可以考慮餘弦定理；而對已知條件(2) 化角化邊都可以。
3． 在分別為內角a、b、c的對邊，且
（ⅰ）求角a的大小；（ⅱ）若，試判斷的形狀。
問題四：三角恒等變形
【例7】（08重慶） 設的內角a，b，c的對邊分別為a,b,c，且a=，c=3b.求：
（ⅰ）的值；（ⅱ）cotb +cot c的值.
4.（2009江西卷理）△中，所對的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求
思考：1若求b。
2若，求c
3若，求c
問題五：判斷三角形形狀
【例8】在△abc中，，bcosa＝cosb，試判斷三角形的形狀.
【例9】 在△abc中，若＝，試判斷三角形的形狀.
5.在△abc中，若2cosbsina＝sinc，則△abc的形狀一定是
6.在△abc中，如果（a2+b2）sin（a-b）=（a2-b2）sin（a+b），判斷三角形的形狀.
思考：若，判斷三角形的形狀.
問題六：與其他知識綜合
【例10】已知向量，其中a，b，c是△abc的內角，a,b,c分別是角a，b，c的對邊.（1）求角c的大小；（2）求的取值範圍.
思考：1.若求，，？
2.若已知，求三角形周長和面積的取值範圍。
7.（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足，． （i）求的面積； （ii）若，求的值．
注：若條件改為
a 組
1．△abc中，a＝，b＝，sinb＝，則符合條件的三角形有
a．1個 b．2個c．3個d．0個
2.在中，a=15,b=10,a=60°，則
abcd
3．某人朝正東方向走千公尺後，向右轉並走3千公尺，結果他離出發點恰好千公尺，那麼的值為
ab． c．或 d．3
4.（2008福建)在△abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c,若(a2+c2-b2)tanb=,
則角b的值為
abc.或d.或
5.已知△abc中，，則
6.在中。若，，，則a
7.已知a,b,c分別是△abc的三個內角a,b,c所對的邊，若a=1,b=, a+c=2b,則sinc= .
8．已知的周長為，且．
（i）求邊的長；（ii）若的面積為，求角的度數．
9．在中，角、、所對應的邊分別為、、，且滿足．
（i）求角的值；（ii）若，求的值．
10.在中，分別為內角的對邊，且．
（ⅰ）求；（ⅱ）若，，求．
b 組
1.若△的三個內角滿足，則
a．一定是銳角三角形b．一定是直角三角形.
c.一定是鈍角三角形d.可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.
2．已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為（ ）
a．2 b．8cd.
3．要測量底部不能到達的電視塔ab的高度,在c點測得塔頂a的仰角是45°,在d點測得塔頂a的仰角是30°,並測得水平面上的∠bcd=120°,cd=40m,則電視塔的高度為
a．10mb．20m c．20md．40m
4.在△abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanb＝ac，則角b的值為( )
abc.或d.或
5.（2010天津理）（7）在△abc中，內角a,b,c的對邊分別是a,b,c，若，，則a
abcd.
6.(2008湖北)在△中，三個角的對邊邊長分別為,則
的值為7.在中，角的對邊分別為，。
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的面積.
8.在中，
（ⅰ）求ab的值。（ⅱ）求的值。
9. 在△abc中，已知b=45°,d是bc邊上的一點，
ad=10,ac=14,dc=6，求ab的長.
10.設的內角所對的邊分別為且.（1）求角的大小；（2）若，求的周長的取值範圍.
c 組
1．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那麼它的頂角的余弦值為
abcd.
2．在△abc中，角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c.若∠c＝120°，c＝a，則( )
a．a>bb．ac．a＝bd．a與b的大小關係不能確定
3．(2010·新課標全國卷)在△abc中，d為邊bc上一點，bd＝cd，∠adb＝120°，ad＝2.若△adc的面積為3－，則∠bac
4.（天津市河東區2023年高三一模）17.如圖所示，在△abc，已知,，ac邊上的中線,
求：（1）bc的長度；
（2）的值。
5．設△abc的內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且atanb＝，bsina＝4.
(1)求cosb和a；(2)若△abc的面積s＝10，求cos4c的值．
6．已知△abc的三個內角a、b、c的對邊分別為a、b、c，若2b=a+c，且2cos2b－8cosb＋5＝0，求角b的大小，並判斷△abc的形狀．
7.在中，分別為角的對邊，且滿足.
（ⅰ）求角的值；
（ⅱ）若，設角的大小為的周長為，求的最大值.
8..已知函式，
(1) 求函式的最小正週期；
（2）記的內角a,b,c的對邊長分別為，若，求的值。
9. 已知的三內角，，所對邊的長分別為，，，設向量，，．
(1)求的值； (2)求的值．
10. (山東省青島市2023年3月高考第一次模擬文科)已知向量,函式.
(ⅰ)求函式的最小正週期;
(ⅱ)已知、、分別為內角、、的對邊, 其中為銳角, ,且,求和的面積.
解三角形知識點
解直角三角形的概念及基本型別 概念 在直角三角形中，用除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。注意 在直角三角形中，除直角外，一共有 個元素，即 條邊和 個銳角。解直角三角形的兩種基本型別 已知兩邊長 已知一銳角和一邊。注意 已知兩銳角不能解直角三角形。解直角三角形的方法 有斜...
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解三角形知識點歸納
判斷三角形形狀的方法 1 將已知式所有的邊和角轉化為邊邊關係，通過因式分解 配方等得出邊的相應關係，從而判斷三角形的形狀。2 將已知式所有的邊和角轉化為內角三角函式間的關係，通過三角恒等變形，得出內角的關係，從而判斷出三角形的形狀，這時要注意使用a b c 這個結論。在兩種解法的等式變形中，一般兩邊...