解三角形的必備知識和典型例題及詳解
一、知識必備：
1．直角三角形中各元素間的關係：
在△abc中，c＝90°，ab＝c，ac＝b，bc＝a。
（1）三邊之間的關係：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）銳角之間的關係：a＋b＝90°；
（3）邊角之間的關係：（銳角三角函式定義）
sina＝cosb＝，cosa＝sinb＝，tana＝。
2．斜三角形中各元素間的關係：
在△abc中，a、b、c為其內角，a、b、c分別表示a、b、c的對邊。
（1）三角形內角和：a＋b＋c＝π。
（2）正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等
（r為外接圓半徑）
（3）餘弦定理：三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
a2＝b2＋c2－2bccosa； b2＝c2＋a2－2cacosb； c2＝a2＋b2－2abcosc.
（4）餘弦定理的推論：
3．三角形的面積公式：
（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
（2）＝absinc＝bcsina＝acsinb；
4．三角形中的三角變換
因為在△abc中，a+b+c=π，所以sin(a+b)=sinc；
cos(a+b)=－cosc；tan(a+b)=－tanc。
；二、典例解析
題型1：正、餘弦定理解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有乙個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．主要型別：
（1）兩類正弦定理解三角形的問題：
第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.
例：已知中，a=10,a=30o,c=45o,解三角形
第2、已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角. 注意可能有兩解的情形
例：已知中，a=,a=30o,b=2,解三角形
（2）兩類餘弦定理解三角形的問題：
第1、已知三邊求三角.
例，已知中，,求各角度數
第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.
例：已知中，a=1，c=15o，b=,解三角形
變式練習：已知中，，a=4,b+c=6且b題型2：正、餘弦定理判斷三角形形狀
已知三角形中的邊角關係式，判斷三角形形狀有兩條思路：一是化邊為角，再進行三角恒等變換求出三個角之間的關係式；二是化角為邊，再進行代數恒等變換求出三條邊之間的關係式
例：在△abc中，若2cosbsina＝sinc，則△abc的形狀一定是（ ）
a.等腰直角三角形b.直角三角形
c.等腰三角形d.等邊三角形
解析：2sinacosb＝sinc
2sinacosb =sin（a＋b）
2sinacosb =sinacosb+cosasinb
2sinacosb- sinacosb-cosasinb=0
sinacosb-cosasinb=0
∴sin（a－b）＝0，∴a＝b
另解：角化邊
練習：1. 已知中，bsinb=csinc,且sin2a=sin2b+sin2c,
判斷三角形的形狀
2. 已知中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sina=2sinbcosc,
確定三角形的形狀
3. 已知中，b=60o，2b=a+c，判斷三角形的形狀
題型3：三角形面積
三角形面積公式有多種形式，根據題中的條件選擇最合適的面積公式.
＝absinc＝bcsina＝acsinb公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立關係，又由正弦值還可求出余弦值，這就可以與餘弦定理建立關係，另外面積公式中有兩邊的乘積，在餘弦定理中也有.
例：在中，已知,求三角形的面積.
練習：1.在銳角中，a,b,c分別為角a,b,c所對的邊，且，
（1）確定角c的大小
（2）若，且的面積為，求a+b的值
2.（2011山東高考題）
17、（本小題滿分12分）
在中，內角的對邊分別為，已知.
求的值；
若，求的面積.
3.（2012山東高考題）
(17)(本小題滿分12分)
在△abc中，內角所對的邊分別為，已知.
(ⅱ)若，求△的面積s.
題型4：正餘弦定理的實際應用
例．如圖，a,b,c,d都在同乙個與水平面垂直的平面內，b，d為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船於水面a處測得b點和d點的仰角分別為，，於水面c處測得b點和d點的仰角均為，ac=0.1km。
試**圖中b，d間距離與另外哪兩點間距離相等，然後求bd的距離
解:在△abc中，∠dac=30°,
∠adc=60°－∠dac=30o,
所以cd=ac=0.1 又∠bcd=180°－60°－60°=60°，
故cb是△cad底邊ad的中垂線，所以bd=ba，
在△abc中，
即ab=
因此，bd=
三、思維總結
1．解斜三角形的常規思維方法是：
（1）已知兩角和一邊（如a、b、c），由a+b+c = π求c，由正弦定理求a、b；
（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用餘弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然後利用a+b+c = π，求另一角；
（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、a），應用正弦定理求b，由a+b+c = π求c，再由正弦定理或餘弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；
（4）已知三邊a、b、c，應餘弦定理求a、b，再由a+b+c = π，求角c。
2．兩內角與其正弦值：在△abc 中，，…
3.解三角形問題可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合「三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解」。
解三角形知識點
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解三角形知識點
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全等三角形知識點和典型例題
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