特殊三角形
一、知識結構
本章主要學習了等腰三角形的性質與判定、直角三角形的性質與判定以及勾股定理、hl定理等知識，這些知識點之間的結構如下圖所示：
二、重點回顧
1．等腰三角形的性質：
等腰三角形兩腰_______；等腰三角形兩底角______(即在同乙個三角形中，等邊對_____)；等腰三角形三線合一，這三線是指也就是說這三線為同一條線段；等腰三角形是________圖形，它的對稱軸有_________條。
2．等腰三角形的判定：
有____邊相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同乙個三角形中，等角對_____）。
3．等邊三角形的性質：
等邊三角形各條邊______，各內角_______，且都等於_____；等邊三角形是______圖形，它有____條對稱軸。
4．等邊三角形的判定：
有____邊相等的三角形是等邊三角形；有三個角都是______的三角形是等邊三角形；有兩個角都是______的三角形是等邊三角形；有乙個角是______的______ 三角形是等邊三角形。
5．直角三角形的性質：
直角三角形兩銳角_______；直角三角形斜邊上的中線等於_______；直角三角形兩直角邊的平方和等於________（即勾股定理）。
30°角所對的直角邊等於斜邊的________
6．直角三角形的判定：
有乙個角是______的三角形是直角三角形；有兩個角_______的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等於_______的三角形是直角三角形。
一條邊上的中線等於該邊長度的一半，那麼該三角形是直角三角形，但不能直接拿來判斷某三角形是直角三角形，但有助於解題。
7．直角三角形全等的判定：
斜邊和對應相等的兩個直角三角形全等。
8．角平分線的性質：
在角內部到角兩邊在這個角的平分線上。
三、重點解讀
1．學習特殊三角形，應重點分清性質與判定的區別，兩者不能混淆。一般而言，根據邊角關係判斷乙個圖形形狀通常用的是判定，而根據圖形形狀得到邊角關係那就是性質；
2．等腰三角形的腰是在已知乙個三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，後有腰，因此在判定乙個三角形是等腰三角形時千萬不能將理由說成是「有兩腰相等的三角形是等腰三角形」；
3．直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來證明線段之間的相等關係，而且它也是今後研究直角三角形問題較為常用的輔助線，熟練掌握可以為解題帶來不少方便；
4．勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關係，解題時應注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母「」就認定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長為3和4，就認為另一邊一定是5；
5．「hl」是僅適用於判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當然，以前學過的「sss」、「sas」、「asa」、「aas」等判定一般三角形全等的方法對於直角三角形全等的判定同樣有效。
本章解題時用到的主要數學思想方法：
⑴ 分類討論思想（特別是在語言模糊的等腰三角形中）
⑵ 方程思想：主要用在摺疊之後產生直角三角形時，運用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長
⑶ 等面積法
四、典型例題
（一）、角平分線+平行線
1、在△abc中，三內角互不相等，bo平分∠abc，co平分∠acb。過o點作ef, 使ef∥bc。（1）圖中有幾個等腰三角形？
（2）猜測線段be、cf、ef有什麼數量關係，並說明理由。
2、在△abc中，∠abc=∠acb，bo平分∠abc， co平分∠acb,過o點作ef，
使ef∥bc，且∠ebo=30°。若be=5，△abc的周長為
（二）、角平分線+垂線
3、如圖：ab=ac，∠1=∠2，ae⊥cd於f交bc於點e，求證：ab=ce。
4、如圖，△abc是等腰直角三角形，其中∠a=90°，bd平分∠abc交ac於點d，ce⊥bd交bd的延長線於點e，求證：bd=2ce
(三)、直角三角形的乙個銳角平分線+斜邊上的高線
5、如圖，在△abc中，∠acb=90°，ae平分∠cab，cd⊥ab於d，它們交於點f，△cfe是等腰三角形嗎？試說明理由.
（四）、等邊三角形的幾個基本圖形：
6、等邊三角形abc中，bd=ce，連線ad、be交於點f。∠afe
7、如圖點a、c、e在同一直線上，△abc和△cde都是等邊三角形，m、n分別是ad、be的中點。說明： △cmn是等邊三角形。
8、已知等邊△abc和點p，設點p到△abc三邊ab、ac、bc的距離分別是h1，h2，h3，△abc的高為h，若點p在一邊bc上（圖1），此時h3=0，可得結論h1+h2+h3=h，請你探索以下問題：當點p在△abc內（圖2）和點p在△abc外（圖3）這兩種情況時，h1、h2、h3與h之間有怎樣的關係，請寫出你的猜想，並簡要說明理由．
（五）、等腰直角三角形的幾個基本應用
9、在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，直線mn經過點c，且ad⊥mn於d，be⊥m於e。
(1)當直線mn繞點c旋轉到圖1位置時，說明△adc≌△ceb的理由；
(2)當直線mn繞點c旋轉到圖2位置時，說明de=ad－be的理由；
(3)當直線mn繞點c旋轉到圖3位置時，試問de、 ad、be有怎樣的等量關係？請寫出這個等量關係，並說明理由.
10、如圖，在直角△abc中，∠c=90，ac=bc，d，e分別在bc和ac上，且bd=ce，m是ab的中點。求證：△mde是等腰直角三角形。
（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方程
11、觀察下面**中所給出的三個數a，b，c，其中a，b，c為正整數，且a （1）：試找出他們的共同點，並證明你的結論
（2）：當a=21時，求b，c的值
12、如圖，p是等邊三角形abc內的一點，鏈結pa、pb、pc，以bp為邊作∠pbq=60°，且bq=bp，鏈結cq。
（1）觀察並猜想ap與cq之間的大小關係，並證明你的結論．
（2）若pa：pb：pc=3：4：5，鏈結pq，試判斷△pqc的形狀，並說明理由．
14、矩形紙片abcd的邊ab=10cm,bc=6cm,e為bc上一點，將矩形紙片沿ae摺疊，點b恰好落在dc邊上的點g處，求be的長。
（七）、需要分類討論的（主要是由語言的模糊造成要討論）
有乙個角等於50°，另乙個角等於的三角形是等腰三角形。
有乙個直角三角形的兩條直角邊為3，4，則第三條邊長為
如圖，等腰三角形abc中，ab=ac，一腰上的中線bd將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長。
（八）作圖題
如圖，求作一點p，使pc=pd,並且使點p到∠aob兩邊的距離相等，並說明你的理由．
【考點精練】
一、基礎訓練
1．如圖1，在△abc中，ab=ac，∠a=50°，bd為∠abc的平分線，則∠bdc=_____°．
（123）
2．如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_______．
3．如圖3，乙個頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角後，得到乙個四邊形，則∠1+∠2=________度．
4．如圖4，在等腰直角△abc中，∠b=90°，將△abc繞頂點a逆時針方向旋轉60°後得到△ab′c′，則∠bac′等於________．
455．如圖5，沿ac方向開山修渠，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工．從ac上的一點b取∠abd=135°，bd=520公尺，∠d=45°，如果要使a、c、e成一直線，那麼開挖點e離d的距離約為_______公尺（精確到1公尺）．
6．等腰△abc的底邊bc=8cm，腰長ab=5cm，一動點p在底邊上從點b開始向點c以0.25cm/秒的速度運動，當點p運動到pa與腰垂直的位置時，點p運動的時間應為________．
7．如圖7，在△abc中，ab=ac，∠bad=20°，且ae=ad，則∠cde
789）
8．如圖8，在等腰三角形abc中，ab=ac，∠a=44°，cd⊥ab於d，則∠dcb等於（ ）
a．44° b．68° c．46° d．22°
9．如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若考慮既要符合設計要求，又要節省材料，則在庫存的l1=5.2m，l2=6.2m，l3=7.
8m，l4=10m的四種備用拉線材料中，拉線ac最好選用（ ）
a．l1 b．l2 c．l3 d．l4
10．如圖10，在△abc中，ab=ac，d為ac邊上一點，且bd=bc=ad．則∠a等於（ ）
a．30° b．36° c．45° d．72°
1011）
三角形與特殊三角形知識點歸納
特殊三角形知識點 1.三角形中的主要線段 1 角平分線 三角形的乙個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的 頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線 2 中線 鏈結三角形的乙個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線 3 高 從三角形的乙個頂點向它的對邊 或其延長線 引垂線，頂點和垂足間的線段叫做三...
特殊三角形知識點及習題
特殊三角形 重點知識透視一 等腰三角形的概念與性質 重點知識透視二 等腰三角形的判定 重點知識透視三 等邊三角形 1.等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為 a 12b 15 c 12或15 d 18 2.如圖，abc中，ab ac，a 36 bd是ac邊上的高，則 dbc的度數是...
解三角形知識點與典型例題
解三角形的必備知識和典型例題及詳解 一 知識必備 1 直角三角形中各元素間的關係 在 abc中，c 90 ab c，ac b，bc a。1 三邊之間的關係 a2 b2 c2。勾股定理 2 銳角之間的關係 a b 90 3 邊角之間的關係 銳角三角函式定義 sina cosb cosa sinb ta...