特殊三角形複習
【內容綜述】
等腰三角形和直角三角形是兩種非常特殊的三角形，本講中通過一系列有關等腰三角形或直角三角形的問題的解決，既是複習有關三角形全等的知識，同時也是培養同學們分析、解決問題的能力。同學們通過學習下面問題的分析、解答過程，特別要注意體會如何根據題目的已知資訊和圖形特徵作出適當的輔助線。這是學習本節的難點所在。
【要點講解】
★★例1 如圖2-8-1,中，ab=ac，d為ab上一點，e為ac延長線上一點，且bd=ce，de交bc於g。
求證：dg=eg。
思路因為△gdb和△gec不全等，所以考慮在△gdb內作出乙個與△gec全等的三角形。
證明：過d作dh∥ae，交bc於h
∴ ∵ab=ac
∴ ∴
∴db=dh
又∵db=ce
∴dh=ce
又∵∴ ∴dg=eg.
說明本題易明顯得出dg和eg所在的△dbg和△ecg不全等，故要構造三角形的全等，本題的另一種證法是過e作ef∥bd，交bc的延長線於f，證明△dbg≌△efg，讀者不妨試一試。
★★例2 如圖2-8-2，d為等邊△abc的內部一點，db=da，be=ab，∠dbe=∠dbc，求∠bed的度數。
思路從已知中知等邊△abc的每個內角為60°。所以要想辦法把∠bed和60°這一資訊產生聯絡。
解：鏈結dc
由△abc是等邊三角形且be=ab可得be=bc
又∵∠dbe=∠dbc,bd=bd
∴△dbe≌△dbc,
∴∠bed=∠bcd
∵db=da，dc=dc，cb=ca，
∴△cbd≌△cad
∴∠bcd=∠acd=∠bca=×60°=30°
∴∠bed=30°
說明證明兩角相等的重要思路之一就是證明這兩角所在的兩個三角形能全等。
★★★例3 如圖2-8-3，在△abc中，ab=ac，∠a=100°,作∠b的平分線與ac邊交於e，求證：bc=ae+be。
思路要想辦法把ae+be替換成一條線段a，然後只需證明bc=a。
證明延長be到f，使ef=ae，鏈結fc，作∠bec的平分線交bc於g，由ab=ac，
∠bac=100°，可知∠abe=∠cbe=20°
因而 ∠aeb=∠geb=60°
於是 △aeb≌△geb
則有 eg=ea=ef
又由 ∠gec=∠fec=60°
所以 △gec≌△fec
所以 ∠efc=∠egc=180°－100°=80°
從而 ∠bcf=80°
故 bc=bf=ae+be
★★★例4 如圖2-8-4, p為等邊△abc內任一點，pd⊥ab於d，pe⊥bc於e，pf⊥ac於f。
求證：pd+pe+pf是定值。
思路考慮把pd+pe+pf
用等邊△abc的邊長、周長、高、
面積等不變數表示出來。
證明鏈結pa、pb、pc，過a作ah⊥bc於h。
∵，∴ 又∵ab=bc=ca，
∴pd+pe+pf=ah
因為等邊三角形的大小已給定，則它的高也隨之確定。
∴pd+pe+pf是定值。
說明題中的pd、pe、pf這三段都是點到線段的距離，故聯想到了三角形的面積，利用各個部分的面積之和等於整體的面積建立了等式關係。
★★★例5 如圖2-8-5，在△abc中，bf⊥ac，cg⊥ab，垂足分別是f、g，d是bc的中點，de⊥fg，垂足是e。
求證：ge=ef。
思路利用等腰三角形的三線合一性質，只需證明dg=df。
證明鏈結dg、df。
∵dg是rt△bcg的斜邊bc上的中線。
∴，同理可證
∴dg=df
又∵de⊥fg，
∴ge=ef
說明若題目中作了三角形的高，就應注意所形成的直角三角形這一圖形，如本題圖中的rt△bgc和rt△cfb。
★★★★例6 已知乙個直角三角形的邊長都是自然數，且周長和面積的量數相等，求這個三角形的三邊長。
思路列出三邊長滿足的關係式，然後通過分析、討論得出三邊的長度。
解設三邊長分別為a，b，c，其中c為斜邊，則
由②得,代入①得
， 即
∵ab≠0,
∴ab―4a―4b＋8=0
∴(a、b為自然數)
∴a－4=1，2，4，8
∴a=5，6，8，12； b=12，8，6，5；
c=13，10，10，13
∴三邊長分別為6、8、10或5、12、13。
說明本題是用代數方法解幾何題，這種方法今後還大有用處，請讀者注意它。
★★★★例7 如圖2-8-6，在△abc中，ab=ac=cb，ae=cd，ad、be相交於p，bq⊥ad於q。
求證：bp=2pq。
思路在rt△bpq中，本題的結論等價於證明∠pbq=30°
證明 ∵ab=ca，∠bae=∠acd=60°，ae=cd，
∴△bae≌△acd
∴∠abe=∠cad
∴∠bpq=∠abe+∠bap
=∠cad+∠bap=60°
又∵bq⊥ad
∴∠pbq=30°
∴bp=2pq
說明本題把證明線段之間的關係轉化為證明角的度數，這種轉換問題的方法值得讀者細心體會。
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