第3章第8課時
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一、選擇題
1．如圖所示，已知兩座燈塔a和b與海洋觀察站c的距離相等，燈塔a在觀察站c的北偏東40°，燈塔b在觀察站c的南偏東60°，則燈塔a在燈塔b的( )
a．北偏東10° b．北偏西10°
c．南偏東10° d．南偏西10°
解析： 由已知∠acb＝180°－40°－60°＝80°，
又ac＝bc，∴∠a＝∠abc＝50°，60°－50°＝10°.
∴燈塔a位於燈塔b的北偏西10°.
答案： b
2．在△abc中，b＝45°，c＝60°，c＝1，則最短邊的邊長是( )
ab.c. d.
解析： 由＝，得b＝＝＝，
∵b角最小，∴最小邊是b.
答案： a
3．在△abc中，角a，b均為銳角，且cosa＞sinb，則△abc的形狀是( )
a．直角三角形 b．銳角三角形
c．鈍角三角形 d．等腰三角形
解析： cosa＝sin＞sinb，－a，b都是銳角，則－a＞b，a＋b＜，c＞.
答案： c
4．一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔p的南偏西75°距塔68海浬的m處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的n處，則這只船的航行速度為( )
a.海浬/小時 b．34海浬/小時
c.海浬/小時 d．34海浬/小時
解析： 如圖所示，
在△pmn中，＝，
∴mn＝＝34，
∴v＝＝ (海浬/小時)．故選a.
答案： a
5．在△abc中，角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c.若∠c＝120°，c＝a，則( )
a．a＞b b．a＜b
c．a＝b d．a與b的大小關係不能確定
解析： 在△abc中，由餘弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.將c＝a代入上式，得2a2＝a2＋b2＋ab，從而a2＝b2＋ab.
∴a2－b2＝ab＞0，∴a2＞b2，∴a＞b.
答案： a
6．某人在c點測得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10公尺到d，測得塔頂a的仰角為30°，則塔高為( )
a．15公尺 b．5公尺
c．10公尺 d．12公尺
解析： 如圖，設塔高為h，
在rt△aoc中，∠aco＝45°，
則oc＝oa＝h.
在rt△aod中，∠ado＝30°，
則od＝h，
在△ocd中，∠ocd＝120°，cd＝10，
由餘弦定理得：od2＝oc2＋cd2－2oc·cdcos∠ocd，
即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．
答案： c
二、填空題
7．在直徑為30m的圓形廣場**上空，設定乙個照明光源，射向地面的光呈圓形，且其軸截面頂角為120°，若要光源恰好照亮整個廣場，則光源的高度為________m.
解析： 軸截面如圖，則光源高度h＝＝5 (m)．
答案： 5
8．據新華社報道，強颱風「珍珠」在廣東饒平登陸．颱風中心最大風力達到12級以上，大風、降雨給災區帶來嚴重的災害，不少大樹被大風折斷．某路邊一樹幹被颱風吹斷後，折成與地面成45°角，樹幹也傾斜為與地面成75°角，樹幹底部與樹尖著地處相距20公尺，則折斷點與樹幹底部的距離是________公尺．
解析： 如圖，設樹幹底部為o，樹尖著地處為b，折斷點為a，則∠abo＝45°，∠aob＝75°，
∴∠oab＝60°.
由正弦定理知，＝，
∴ao＝(公尺)．
答案：9．在海島a上有一座海拔1千公尺的山，山頂上有乙個觀察站p，上午11時，測得一輪船在島的北偏東30°，俯角30°的b處，到11時10分又測得該船在島的北偏西60°，俯角60°的c處，則輪船航行速度是________千公尺/小時．
解析： 由題意得∠pba＝30°，∠pca＝60°，∠bac＝60°＋30°＝90°，
又pa＝1千公尺，則ab＝千公尺，ac＝千公尺，
所以bc＝千公尺，
則輪船航行的速度是＝2千公尺/小時．
答案： 2
三、解答題
10．(2011·浙江台州一模)某校運動會開幕式上舉行公升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看台的某一列的正前方，從這一列的第一排和最後一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最後一排的距離為10公尺(如圖所示)，旗桿底部與第一排在乙個水平面上．若國歌長度約為50秒，公升旗手應以多大的速度勻速公升旗？ 【解析方法**108001045】
解析： 在△bcd中，∠bdc＝45°，∠cbd＝30°，cd＝10，
由正弦定理，得bc＝＝20；
在rt△abc中，ab＝bcsin60°＝20×＝30(公尺)．
所以公升旗速度v＝＝＝0.6(公尺/秒)．
11．如圖，位於a處的資訊中心獲悉：在其正東方向相距40海浬的b處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．資訊中心立即把訊息告知在其南偏西30°、相距20海浬的c處的乙船，現乙船朝北偏東θ的方向沿直線cb前往b處救援，求cosθ的值．
解析： 如題中圖所示，在△abc中，ab＝40，ac＝20，∠bac＝120°，由餘弦定理知，bc2＝ab2＋ac2－2ab·ac·cos120°＝2800bc＝20.
由正弦定理得，＝
sin∠acb＝sin∠bac＝.
由∠bac＝120°，知∠acb為銳角，則cos∠acb＝.
由θ＝∠acb＋30°，
得cosθ＝cos(∠acb＋30°)＝cos∠acbcos30°－sin∠acbsin30°
＝.12．(2010·福建卷)某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發時，輪船位於港口o北偏西30°且與該港口相距20海浬的a處，並正以30海浬/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海浬/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
(2)為保證小艇在30分鐘內(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在v，使得小艇以v海浬/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值範圍；若不存在，請說明理由． 【解析方法**108001046】
解析： (1)方法一：設相遇時小艇的航行距離為s海浬，則s＝＝
＝故當t＝時，**in＝10，此時v＝＝30.
即小艇以30海浬/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．
方法二：若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向．
如圖(1)，
圖(1)
設小艇與輪船在c處相遇．
在rt△oac中，oc＝20cos30°＝10，ac＝20sin30°＝10.
又ac＝30t，oc＝vt.
此時，輪船航行時間t＝＝，v＝＝30.
即小艇以30海浬/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．
(2)如圖(2)，
(2)設小艇與輪船在b處相遇．
由題意可得：
(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
化簡得：v2＝－＋900
＝4002＋675.
由於0所以當＝2時，v取得最小值10.
即小艇航行速度的最小值為10海浬/小時．
(3)由(2)知v2＝－＋900，
設＝u(u>0)，
於是400u2－600u＋900－v2＝0.(*)
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價於方程(*)應有兩個不等正根，即：
解得15所以v的取值範圍是(15，30)．
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