習題2.1.2
長為l，均勻細桿，x=0端固定，另一端沿杆的軸線方向被拉長b靜止後（在彈性限度內）突然放手，細桿作自由振動。試寫出振動方向的定解條件。
解：由於x=0端固定，可知，又l端為自由端，知。
t=0時刻桿上點的位移，又t=0時刻的速度為0，即。
習題2.2.1
一根半徑為r，密度為ρ，比熱為c，熱傳導係數為k的均質園杆，如同介面上的溫度相同，其側面與溫度為的介質發生熱交換，且熱交換的係數為。試匯出桿上溫度u滿足的方程。
解：如圖所示通過兩截面而留下的熱量=微元段公升溫吸熱+與側面交換所留下的熱量
因為其中，k為進入截面的係數；s為橫截面；為沿軸溫度的法向導數；2πrdx為側面。
所以 ，，
習題2.3.3
由靜電場gauss定理，求證：，並由此匯出靜電勢u所滿足的poisson方程。
解：因為
且比較可得
即可令代入上式可得
習題2.4.2
求下列方程的通解
（2）；
（5）；
解：（2）
此方程式雙曲型的第二標準型，將其化成第一標準型
特徵方程解得令
可得；；；
可得標準型
因此 。
（5）此方程式雙曲型的第二標準型，將其化成第一標準型
特徵方程解得令
可得；；；
可得標準型
因此 。
習題2.6.1
證明下列公式
（3） （）
證明：由原式得
左邊滿足
且所以左邊是乙個函式
所以左邊=右邊
習題3.1.3
解：令，則方程的通解為
。代入邊界條件：
，則滿足等式的值就是固有值，記為，則固有函式為。
習題3.1.5
一根均勻弦兩端分別在x=0及x=l處固定，設初始速度為零，初始時刻弦的形狀為一拋物線，拋物線的頂點為（l/2，h）。求弦振動的位移。
解：設位移函式為，它是下列定界問題的解
求這個定界問題，令
由分離變數可得固有值方程
解得相應的特徵函式為
把代入可得
於是由初始條件，可得
習題3.2.3
求定界問題：
解：設，代入原函式，固有值方程組為
解得：。
代入邊界條件：
，則滿足等式的值就是固有值，記為，則固有函式為。
由初始條件得
於是其中
習題3.2.4
求定界問題：
解：由課本p50例5得：
由得：，n=1，2….
，n=1,2…
習題3.3.3
一圓環形平板,內半徑為，外半徑為，側面絕緣，如內圓溫度保持0度，外圓溫度保持1 度,試求穩恆狀態下，溫度分布規律
解：溫度分布應滿足如下定解問題:
1）由分離變數法,令 u( r,θ ) = r( r)φ(θ ) , 代入泛定方程（1）式以及邊界條件和週期性條件,分離變數後得
2）（3）
及4) (5)
(2 ) , (3 )式構成的固有值問題的固有值為(λ= 0, 1, 2,…) 固有函式為
解方程(4 )得
所以原定解問題級數形式的解為
即 其中均為常數。
由邊值條件知
將,分別按余弦函式族{} 以及正弦函式族
在[0 ,2π] 展開成傅利葉級數,得
以及因此解得
於是板的穩恆溫度分布為
習題3.4.4
設為長方體的邊界，求長方體內有初始擾動的波的傳播，即求如下定解問題：
解：時空變數分離，令,帶入波動方程得：
令，得：
空間變數分離，令，帶入令：
可得：再令w=y(y)z(z)，帶入上式含w的方程，令：
可得關於y和z的固有值問題：
由方程iii：
只有當λ3>0是才有非零解：
當z=0時，z(0)=0得a=0,；
當z=c時，z(c)=0得：bsinc=0 = (n=1,2,3…)
故，固有函式為：
同理由方程ii、iii可解得固有值問題：
由此可得關於v的固有值和固有函式：
關於時間t(t)的常微分方程的通解為：
那麼，由固有函式線性疊加可得原函式通解：
由初始條件：
可得係數amnp：
同理可得係數bmnp：
習題3.5.6
求解定解問題：。
解：先求解下面的齊次定解問題對應的固有值問題：
固有函式為：
令一般解為：。
將一般解代入泛定方程，將自由項按固有函式系展開，
即： ，
得： 再將一般解和自由項展開代入定解問題的：
解之得：
則原定解問題的解為：
習題3.6.1
求解定解問題：，其中和均為常數。
解：令，代入定解問題，得：
下面進行邊界條件齊次化，令，代入上面的定解問題，可得：（1）
（2）對定解問題（1），利用分離變數法，可得：
固有值，，，所以通解為
。代入初始條件中，可以得到
。對定解問題（2），先求解齊次問題：，得到：，。
從而得通解為：。
將按展開，得：，其中。
將與的展開式代入定解問題（2）中，比較所得方程的兩側係數，即得確定的初始條件為：
此定解問題不難解得：。所以，定解問題（2）的通解為：
。綜上所述，定解問題的解為，其中，；；。
數學物理方法作業第二份
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數學物理方法作業習題第4章
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數學物理方法
課程類別專案主持人課程建設主要成員 校級優秀 省級優質 省級精品 國家精品 李高翔陳義成 王恩科 吳少平 劉峰 數學物理方法是理科院校物理類學生的一門重要基礎課，該課程所涉內容，不僅為其後續課程所必需，而且也為理論和實際研究工作廣為應用。因此，本課程教學質量的優劣，將直接影響到學生對後續課程的學習效...