習題1. 解具有固定端的弦0≤≤的自由振動問題，如果弦的點的初始速度為零，而初始位移：
(1) 正弦曲線，即，為整數；
(2) 對稱軸在直線上的拋物線，而頂點是點，即，這裡；
(3) 折線，其中，討論的情況.
2. 解具有固定端的弦0≤≤的自由振動問題，如果弦的初始狀態處於靜止，而初始速度為
(1)；
(2)， 其中0≤≤；
(3)，
其中 0≤≤.
3. 解均勻杆的縱振動（自由振動）問題，如果，，而端點：
(1)杆的一端是剛性固定，而另一端是自由的；
(2) 杆的兩端是自由的；
(3) 杆的一端是自由的，而另一端為彈性固定.
4. 解杆的自由縱振動，如果杆的一端是剛性固定的，而力施於另一端，在時刻時力停止作用，即解定解問題：
這裡為杆的橫截面積，為楊氏模量.
5. 求解可變電流流過長度為的導線中的電流強度，如果沒有漏電，且可以忽略電阻，假定在導線中（當時）初始電流等於零，而初始電壓為，導線的左端是絕緣的，而右端是接地的.
提示：問題歸結為混合問題：
6. 解沿邊緣固定的矩形薄膜的自由振動問題，如果
，.7. 解混合問題
8. 求解沿邊緣固定的半徑為的均勻圓薄膜的自由振動問題：
(1) 解混合問題
這裡是方程的正根.
(2) 解混合問題
(3) 解混合問題
為常數.
提示：， .
以上各小題中的是常數.
9. 解下列混合問題：
(1) 若；
(2) 若；
(3) 若，其中是方程的正根.
10. 設長度為的重均勻繩索，在端點處懸掛，使繩索無初速離開平衡位置，假定介質無阻力，在重力作用下，繩索的振動問題就歸結為解混合問題：
這裡，為重力加速度.
11. 已知長度為，側面是絕熱的均勻細桿，求杆中的溫度分布.
若(1) 杆端，保持為零度。而初始溫度，其中設 ①（常數），②，為常數；
(2) 杆端保持零度，而在端與周圍為零度的介質發生熱交換，杆的初始溫度；
(3) 在杆的兩端與都有與周圍為零度的介質熱交換，而杆的初始溫度為；提示：其邊界條件為：.
(4) 杆端（，）是絕熱的，而初始條件為（常數）；
(5) 杆端是絕熱的，而初始溫度分布為
討論當時的狀態.
(6) 杆端是絕熱的，而初始溫度分布為
， 為常數，
求.12. 設球心在座標原點半徑為的均勻球體，求球內的溫度.
若(1) 球的外側球面保持為零度，即，而初始溫度僅與到球心的距離有關，即；
(2) 在球面上與零度的介質發生按牛頓定律的對流熱交換，而初始溫度；
提示：半徑為，球心在座標原點的均勻球體，當球的任一點的溫度僅與該點離球心的距離有關的情況，熱分布問題歸結為熱傳導方程.
13. 有半徑為1的球體，其上半球面的溫度常保持為，其下半球面的溫度常保持為，試求球內的穩定溫度分布.
提示：問題歸結為邊值問題：
14. 已知半徑為的球面保持溫度為，半球底面保持絕熱，試求這個半球裡的穩定溫度分布.
提示：問題歸結為解混合問題：
15. 解下列混合問題：
(1)，這裡為常數.
(2)16. 設長為的均勻弦，弦的兩端與固定，初始條件為零，弦所受外力密度（連續分布）為，，求解弦的強迫振動問題.
17. 設長度為的均勻杆，將杆端懸掛，求解在重力作用下桿的縱向振動問題（設端是自由的）.歸結為解混合問題：
這裡為重力加速度.
18. 設圓心在座標原點半徑為的均勻圓膜，如果它的邊緣固定，初始條件為零，假定介質無阻力，振動是由附加在薄膜一側的均勻分布壓力引起的，這裡，是方程的正根，求解此強迫振動問題.
提示：問題歸結為解混合問題：
19. 解下列混合問題：
(1)(2)(3)20. 設弦長為，一端為固定，而另一端受的力擾動作用，這裡，在時刻時位移和速度設為零，解此弦強迫的橫振動問題歸結為解下列定解問題：
21. 設長度為的杆處於靜止狀態，它的一端剛性固定，在時刻沿杆作用在杆的自由端為常力，求杆的位移. 此問題歸結為解混合問題：
其中為彈性模量，為杆的橫截面積.
22. 解下列混合問題：
(1)(2)(3)(4)23. 設半徑為的無限長圓柱體，圓柱側面保持常溫，圓柱體內的初始溫度，求圓柱體內的溫度分布.
24. 設半徑為的無限長圓柱體，它的側面發生熱輻射到溫度為零的周圍介質中去，其初始溫度為，求圓柱體內的溫度分布. 提示：邊界條件當為有界，.
25. 解下列定解問題：
(1)(2)這裡為常數.
(3)，其中.
(4)(5)(6) 在矩形區域，求泊松方程在區域的邊界上取零值的解.
(7)，其中.
(8)，其中為已知常數.
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