第二章復變函式及其導數柯西－黎曼條件
§1.2.1復變函式
設g是乙個複數的集合，如果有乙個確定的法則存在，對於集合g中的每乙個複數z，就有複數與之對應，那麼稱復變數是復變數z的函式，記作.如果z的乙個值對應著唯一的乙個，那麼函式叫做單值的函式，例如就是單值函式；如果z的乙個值有兩個或兩個以上的值相對應，則稱函式是多值的，例如，就是多值函式.
§1.2.2復變函式的導數
由於對應這一對實二元函式
因此復變函式的極限、連續性就由二元函式、的極限和連續性來確定.
復變函式的導數，設函式定義於區域d，z為d內一點，點z+δz仍在d內，如果極限
存在且等於複數a，那麼說在點z可導，極限a叫在z點
導數，記作或.
如果在點z的δ-鄰域內每一點都可導，則稱在z點解析，點z叫的解析點；如果在點z處不解析，則稱該點為的奇點.
例1：設n為自然數，試證是全平面的解析函式，且有.
證明：對復平面上的任意一點z，由定義得
因此 .
由於復變函式導數定義與實變函式導數定義在形式上完全相同，因此實變函式中的求導法則（公式）在復變函式中完全適用.不加證明列出這些公式：
， c為常數;;;
, 等等.
例2：除z＝0是奇點外在全平面處處解析，且.
§1.2.3.復變函式可導的必要條件：柯西-黎曼條件（c-r條件）
設在點z處可導，則在點z處成立條件
這個條件就是著名的柯西(cauchy)-黎曼(riemann)條件，簡稱c-r條件.
事實上，由於，，於是
若令，讓，有
若令，讓，有
因為在點z可導，所以導數相等，即
應當指出，c-r條件僅是在點z可導的必要條件，不是充分條件.
復平面上處處不可導的例子.
例3：在復平面上除外處處不可導.
事實上，，這裡，，若，則有
而，由於，因此c-r條件中至少有乙個不成立，
故函式除外處處不可導.
在z＝0點有
則，表明函式僅在點可導，而在其它點都不可導，因此在復平面上處處不解析，即不是解析函式.
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