1．理解演繹推理的概念．(重點)
2．掌握演繹推理的基本模式，並能用它們進行一些簡單的推理．(重點)
3．能用「三段論」證明簡單的數學問題．(難點)
[基礎·初探]
教材整理數學證明
閱讀教材p58～p59「練習」以上部分，完成下列問題．
1．證明
(1)證明命題的依據：命題的條件和已知的定義、公理、定理．
(2)證明的方法：演繹推理．
2．演繹推理的主要形式
演繹推理的一種形式：三段論，其推理形式如下：
(1)大前提：提供了乙個一般性道理．
(2)小前提：研究物件的特殊情況．
(3)結論：根據大前提和小前提作出的判斷．
判斷(正確的打「√」，錯誤的打「×」)
(1)「三段論」就是演繹推理．( )
(2)演繹推理的結論是一定正確的．( )
(3)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
[質疑·手記]
預習完成後，請將你的疑問記錄，並與「小夥伴們」**交流：
疑問1解惑
疑問2解惑
疑問3解惑
[小組合作型]
把演繹推理寫成三段論的形式
將下列演繹推理寫成三段論的形式．
(1)一切奇數都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數；
(2)三角形的內角和為180°，rt△abc的內角和為180°；
(3)通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數列為等差數列．
【精彩點撥】 三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為「如果bc，ab，則ac.」其中，bc為大前提，提供了已知的一般性原理；ab為小前提，提供了乙個特殊情況；ac為大前提和小前提聯合產生的邏輯結果．
【自主解答】 (1)一切奇數都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇數．(結論)
(2)三角形的內角和為180°.(大前提)
rt△abc是三角形．(小前提)
rt△abc的內角和為180°.(結論)
(3)數列中，如果當n≥2時，an－an－1為常數，則為等差數列．(大前提)
通項公式an＝3n＋2，n≥2時，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常數)．(小前提)
通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數列為等差數列．(結論)
把演繹推理寫成「三段論」的一般方法：
(1)用「三段論」寫推理過程時，關鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了乙個一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個命題結合起來，揭示一般性原理與特殊情況的內在聯絡．
(2)在尋找大前提時，要保證推理的正確性，可以尋找乙個使結論成立的充分條件作為大前提．
[再練一題]
1．將下列演繹推理寫成三段論的形式．
(1)平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分；
(2)等腰三角形的兩底角相等，∠a，∠b是等腰三角形的兩底角，則∠a＝∠b.
【解析】 (1)平行四邊形的對角線互相平分，(大前提)
菱形是平行四邊形，(小前提)
菱形的對角線互相平分．(結論)
(2)等腰三角形的兩底角相等，(大前提)
∠a，∠b是等腰三角形的兩底角，(小前提)
∠a＝∠b.(結論)
演繹推理在幾何中的應用
如圖321所示，d，e，f分別是bc，ca，ab邊上的點，∠bfd＝∠a，de∥ba，求證：de＝af.寫出「三段論」形式的演繹推理. 【導學號：67720195】
圖321
【精彩點撥】 用三段論的模式依次證明：(1)df∥ae，(2)四邊形aedf為平行四邊形，(3)de＝af.
【自主解答】 ①同位角相等，兩直線平行，(大前提)
∠bfd和∠a是同位角，且∠bfd＝∠a，(小前提)
所以df∥ae.(結論)
②兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提)
de∥ba且df∥ea，(小前提)
所以四邊形afde為平行四邊形．(結論)
③平行四邊形的對邊相等，(大前提)
de和af為平行四邊形的對邊，(小前提)
所以de＝af.(結論)
1．用「三段論」證明命題的步驟
(1)理清楚證明命題的一般思路；
(2)找出每乙個結論得出的原因；
(3)把每個結論的推出過程用「三段論」表示出來．
2．幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應用於特殊情況，就能得出相應結論．
[再練一題]
2．證明：如果梯形的兩腰和一底相等，那麼它的對角線必平分另一底上的兩個角．
【解】 已知在梯形abcd中(如圖所示)，ab＝dc＝ad，ac和bd是它的對角線，求證：ca平分∠bcd，bd平分∠cba.
證明：①等腰三角形的兩底角相等，(大前提)
△dac是等腰三角形，dc＝da，(小前提)
∠1＝∠2.(結論)
②兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行線ad，bc被ac 所截的內錯角，(小前提)
∠1＝∠3.(結論)
③等於同乙個量的兩個量相等，(大前提)
∠2，∠3都等於∠1，(小前提)
∠2和∠3相等．(結論)
即ca平分∠bcd.
④同理bd平分∠cba.
[**共研型]
演繹推理在代數中的應用
**1 演繹推理的結論一定正確嗎？
【提示】 演繹推理的結論不會超出前提所界定的範圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結論一定正確．
**2 因為對數函式y＝logax(a＞0，a≠1)是增函式，而y＝x是對數函式，所以y＝x是增函式．
上面的推理形式和結論正確嗎？
【提示】 推理形式正確，結論不正確．因為大前提是錯誤的．
已知a，b，m均為正實數，b【精彩點撥】 利用不等式的性質證明．
【自主解答】 因為不等式(兩邊)同乘以乙個正數，不等號不改變方向，(大前提)
b0，(小前提)
所以mb因為不等式兩邊同加上乙個數，不等號方向不變，(大前提)
mb所以mb＋ab因為不等式兩邊同除以乙個正數，不等號方向不變，(大前提)
b(a＋m)0，(小前提)
所以<，即<.(結論)
代數問題中常見的利用三段論證明的命題：
(1)函式類問題：比如函式的單調性、奇偶性、週期性和對稱性等．
(2)導數的應用：利用導數研究函式的單調區間，求函式的極值和最值，證明與函式有關的不等式等．
(3)三角函式的影象與性質．
(4)數列的通項公式、遞推公式以及求和，數列的性質．
(5)不等式的證明．
[再練一題]
3．當a，b為正實數時，求證：≥.
【解】 因為乙個實數的平方是非負實數，(大前提)
而－＝2是乙個實數的平方，(小前提)
所以－是非負實數，即－≥0.
所以≥.(結論)
[構建·體系]
1．下面幾種推理過程是演繹推理的是( )
a．兩條直線平行，同旁內角互補，如果∠a與∠b是兩條平行直線的同旁內角，則∠a＋∠b＝180°
b．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班級中的人數都超過50人
c．由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質
d．在數列中，a1＝1，an＝ (n≥2)，通過計算a2，a3，a4猜想出an的通項公式
【解析】 a是演繹推理，b，d是歸納推理，c是模擬推理．
【答案】 a
2．用三段論證明命題：「任何實數的平方大於0，因為a是實數，所以a2>0」，你認為這個推理( )
a．大前提錯誤 b．小前提錯誤
c．推理形式錯誤 d．是正確的
【解析】 這個三段論推理的大前提是「任何實數的平方大於0」，小前提是「a是實數」，結論是「a2>0」．顯然結論錯誤，原因是大前提錯誤．
【答案】 a
3．函式y＝2x＋5的影象是一條直線，用三段論表示為：
大前提小前提
結論【答案】 一次函式的影象是一條直線
函式y＝2x＋5是一次函式
函式y＝2x＋5的影象是一條直線
4．如圖322所示，因為四邊形abcd是平行四邊形，所以ab＝cd，bc＝ad.
圖322
又因為△abc和△cda的三邊對應相等，所以△abc≌△cda.
數學必修2第3章
第三章直線與方程 a組一 選擇題 1 若直線x 1的傾斜角為 則 a 等於0b 等於c 等於d 不存在 2 圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則 a k1 k2 k3 b k3 k1 k2 c k3 k2 k1d k1 k3 k2 3 已知直線l1經過兩點 1，2 1，4 直線...
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數學 第2章《推理與證明》單元試題
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