第五章積分變換法
在上冊第七章介紹了傅利葉變換和拉普拉斯變換，給出了它們在解常微分方程定解問題中的應用.本章介紹積分變換在數學物理問題中的應用，通過積分變換，可以把偏微分方程的定解問題化為常微分方程的定解問題，從而使問題得以解決.
§ 2.5.1傅利葉積分變換在數學物理定解問題中的應用2.5.1.1一維波動方程的定解問題
例1．求解無界弦振動方程的初值問題
解：設關於變數x的傅利葉變換為，
於是定解問題經傅利葉變換後為
這裡，這是乙個含引數的二階常微分方程的初值問題.
求解象函式的方程得通解為
由初始條件，易得
從而聯立解得
由此得象函式
作象函式的傅利葉逆變換，有
由延遲定理
作傅利葉逆變換得
應用延遲定理和積分定理
由此作逆變換得
從而定解問題的解為
這個結果與行波法的結果是一樣的.
2.5.1.2 一維熱傳導方程的初值問題
例2：求解一維熱傳導方程的初值問題
解：設關於變數x的傅利葉變換為，
於是定解問題經傅利葉變換後為
這裡，這是乙個含引數的一階常微分方程的初值問題：
方程的通解為
由初始條件易得常數，從而這個初值問題的解為將對作傅利葉逆變換，應用卷積定理與公式得到這就是初值問題的解.
對於半無界問題也可以利用延拓法化為無界問題，直接利用例2的結果得解.
例3：求半無界杆的熱傳導問題
解：先將邊界條件齊次化，令，則可得到
滿足的定解問題：
將初始條件作奇延拓，得
從而得到關於在無界域上熱傳導問題：
由例2的結果得
2.5.1.3 半平面的穩定問題
例4：求解半平面的狄里克雷問題
解：記和分別為和對x的傅利葉變換，
對這個問題作傅利葉變換，有，
由於當時，所以當時有
這樣關於象函式的二階方程的通解為
由條件可知，從而得象函式
注意到應用卷積定理，作傅利葉逆變換就有
這就是半平面的泊松公式.
2.5.1.4 三維無界空間的強迫振動問題三維無界空間的強迫振動的定解問題是
可以用三重的傅利葉變換直接求解.
（1）自由振動問題：（即）
設關於的三重的傅利葉變換的象函式為
，這樣自由振動問題的傅利葉變換後化為
這裡，分別為函式，的傅利葉變換的象函式.
這樣，這個常微分方程的初值問題的解為：
這裡. 現在求反演，有
令，所以
其中為向量和的夾角，以為北極方向，於是上述積分在球座標系下為注意到，上式中的被積函式關於是偶函式，由此得注意到，且是偶函式，所以有
由於，得，因此得
注意到 ，於是
從而得自由振動問題的解
這結果與用球面平均值方法得到的一樣.
（2）強迫振動問題
再解問題：
利用齊次化原理：
若是定解問題
的解，則是強迫振動問題的解.
因此得到強迫振動問題的解
對於一般的定解問題的解就是這兩個特殊情況下問題的解之和.
例5．求解初值問題
解：由公式易得
.§ 2.5.
2拉普拉斯變換在數學物理定解問題中的應用2.5.2.
1側面絕熱半無限均勻細桿的導熱問題例1．考慮側面絕熱的半無限長均勻細桿的導熱問題為這裡為已知常數.
解：定解問題對時間t作拉普拉斯積分變換，變數x看作引數.記,這樣得到常微分方程的邊值問題：
這是乙個二階的常係數線性微分方程的邊值問題，得方程的通解有其中為常數.
由拉普拉斯積分變換的性質，有得，由邊界條件，得，從而有,現在利用拉普拉斯積分變換的性質，先求函式的像原函式.
為此求導一次得，再求導一次有
從而得到滿足的常微分方程：
記的像原函式為，利用像原函式的求導公式，得到， 令，的拉普拉斯積分變換像函式為，則，且，由導數定理得於是由此得到的像原函式的方程
解這個方程，得到
， 為常數.
為確定常數，由拉普拉斯變換定義得
.讓，得到
作積分變數代換，令，上式化為
得 ，因此得
利用相似定理，得到
注意到1≒，利用卷積定理，得到問題的解
.例2．求解一維無界空間的有源的熱傳導問題，且初始溫度已知，即解定解問題：
解：用拉普拉斯積分變換求解
記，方程兩邊作拉普拉斯變換，有
,化簡為 ,
由常數變易法得解
由自然邊界條件有界，故有有界，從而，因此得解注意到，
利用卷積性質，得定解問題的解：
例3．求解半無限長弦的強迫振動的混合問題
解：用拉普拉斯積分變換，記，
對這個問題關於t作拉普拉斯積分變換，有，
這是乙個含引數的二階常微分方程的邊值問題，方程的通解為,這裡為任意常數.
由有界條件有界，得；由，得，所以得到邊值問題的解.
注意到，利用卷積定理，令,
從而對作拉普拉斯逆變換，根據延遲性質，得解,
其中是單位階躍函式.
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