第二篇數學物理方程
第一章希爾伯特空間與施鬥姆-劉維爾運算元
§2.2.1希爾伯特（hilbert）空間
希爾伯特空間是乙個函式空間，這裡簡單地介紹一下，不作專門的理論研究.
2.1.1.1連續函式空間
定義在區間上的所有連續的復值函式的集合記為，這裡區間可以是無限的.是乙個線性空間，現在在空間引入內積運算.
定義1.設為空間內的任意兩個函式，稱在黎曼（riemann）意義下的積分為的內積，記作
這裡表示取的復共軛.
根據定義，內積滿足以下性質：
1..2．對任意複數都有
這裡.3．≥0，當且僅當時，.
可見是一內積空間.
引入空間內的範數.
定義2.設為內任意乙個函式，稱實數為函式的範數，記為.
顯然範數與內積滿足關係式
≤，它就是cauchy-schwarz不等式.
範數具有以下明顯的性質.
1．≥0，當且僅當時，.
2．對任意複數，有.
3．成立三角不等式
≤.現在引入連續函式空間中函式序列收斂的概念.
定義3.設中的乙個函式序列，如果有函式，使得
,則稱函式為函式序列的極限，記為.
這種收斂的概念與高等數學中的序列收斂（點點收斂）的定義是不同的，通常稱為以範數收斂或平均收斂，為方便，也可簡稱平均收斂為收斂.
高等數學中有乙個判定序列收斂的著名的哥西（cauchy）準則.稱凡是滿足哥西準則的中的函式序列為基本列，即如果是基本列，那麼對於任意給定的，總存在自然數，當時都有，反之亦然.
應當指出，在空間中，基本列的極限未必是連續函式，即基本列在中未必收斂.不能使得每乙個基本列都收斂的空間稱為不完備空間.可見，空間是不完備的.
為了便於極限運算，可以將不完備的內積空間完備化，並且稱的完備化空間為空間.
所謂完備化，就是在中增加所有基本列的極限函式.設函式序列是中的基本列，則定義函式為
.這樣，若本身在中為收斂於的基本列，則取.若中兩個基本列與滿足（當時），則規定.
2.1.1.2空間
由此可見，函式空間中所有函式都可以表示為連續函式序列的極限.於是，可以這樣來引入中的線性運算與內積運算.
定義4.設，是中的兩個基本列，記，，則定義
，這裡為複數，
由於仍是中的基本列，是複數域中的基本列，因此上面的定義是合理的.
由此，空間中函式的範數定義為
. 顯然，成立定理1.
定理1.設是空間中的基本列，則數列是復平面上的基本列，這裡區間是區間的任意乙個子區間.
這樣，數列是復平面上的基本列，並且有複數為.
於是我們定義
定義5.設是空間中的基本列，，記，那麼我們稱數列的極限為函式在上的勒貝格(lebesgue)積分，記為，並說在上勒貝格可積.
顯然，若在上黎曼可積則它的黎曼積分與它的勒貝格積分相等.今後如不特別宣告，本書中的積分均指勒貝格積分.
注意到中基本列的有界性，因此數列也是基本列，這樣中函式的範數也可用積分表示：
.同樣，中的內積用勒貝格積分表示為
,其中.
若函式的模數在上勒貝格可積，則稱函式是平方可積的.由此可見，中的每乙個函式都是平方可積函式.凡是平方可積的函式也必都屬於，因此也可以把它作為空間的定義.
如果兩個函式，在的任一子區間上有
,則說兩個函式是在上幾乎處處相等的，仍記為.於是，在此意義下，在空間中的必要且充分的條件是.
顯然，是內積空間，滿足內積的三條性質與範數的三條性質，同樣，保持哥西不等式及內積連續性等性質，是完備的內積空間，因此空間是希爾伯特空間.
2.1.1.3空間的傅利葉（fourier）級數
有人曾經指出，希爾伯特空間是無窮維的歐氏空間.這反映了具有許多類似於歐氏空間的性質：乙個n維歐氏空間中存在標準正交基，對於中的任一向量均可由這組標準正交基線性表示，對於空間也有這方面的類似性質.
定義6.設，如果則稱函式是正交的.
定義7.若中乙個可列無窮的函式列滿足
則稱函式列為中的標準正交系.
例1：在復的空間裡，函式系
是中的乙個標準正交系.
例2：在空間裡,這裡是實數,函式系
是的乙個標準正交系.
對於歐氏空間的任一向量均可由它的標準正交基線性表出,也就是說,歐氏空間的標準正交基是完全的.對於空間，也可以討論其標準正交系是否完全的問題以及空間中的任一函式由標準正交系線性表示問題.
定義8.設是空間的乙個標準正交系，如果存在乙個非零函式，使與中的每乙個函式都正交，則稱是不完全的，否則稱是完全的.
例3：函式系是上乙個不完全的標準正交函式系.
事實上，函式系是上的乙個標準正交系是顯然的.因此只要證明它不是完全的.取，且
，所以函式系是上乙個不完全的標準正交系.
例4：函式系是上乙個完全的標準正交系.
應當指出，標準正交系中任意有限個函式是線性無關的.
定義9.設是中的乙個標準正交系，則把數列叫做函式關於標準正交系的傅利葉係數，這裡.
我們不加證明給出傅利葉級數的收斂定理.
定理：如果是空間中乙個完全標準正交系，則的傅利葉級數收斂於，即
,並且成立巴塞伐爾(parseval)等式
,即空間中的勾股定理.
類似地，推廣到二維上去.
設函式系是中的乙個標準正交的完全系.那麼函式系是上的乙個標準正交的完全系，這裡.於是對於在上平方可積的函式有二維傅利葉級數的收斂定理
並且成立
,這裡是二維的傅利葉係數.
2.1.1.4 施鬥姆(sturm)-劉維爾(liouville)運算元
通常稱運算元
為施鬥姆劉維爾運算元.這裡係數在上定義，並且≥,≥0，≥.
我們考慮空間，其內積為帶權因子的積分定義，記為
從而其範數為
.若則記帶權因子正交，就是通常意義下的正交.
2.1.1.5施鬥姆劉維爾本徵值問題
稱方程即為施鬥姆劉維爾方程,是數學物理問題中常見的一種微分方程，這裡是引數.
施鬥姆劉維爾方程在不同情況下應與如下幾種邊界條件構成本徵值問題：
（1）若在端點有，則在點要附加三類齊次邊界條件，這裡，若為第一類邊界條件；若為第二類邊界條件.
（2）若而,則在有為有限的條件稱之為自然邊界條件.
（3）若在端點，有，則在，有稱之為週期性的邊界條件，.
在上述三類條件之一下，求使得方程有非零解的值的問題稱之為本徵值問題（又叫固有值問題）.
對於此，在空間內有
① 有可列無窮多個非負的本徵值（固有值）
≤≤≤≤≤
和相應的本徵函式
滿足.② 這些本徵函式構成空間內的標準正交完全系，且有
③若，則有（廣義）傅利葉級數，其中
例5: 證明施鬥姆劉維爾本徵值問題
的本徵函式繫在區間上是帶權因子正交的.
證：設為兩個不相等的本徵值，分別是它們的對應的本徵函式，即，，並且滿足
,.注意到都是實值函式，所以有
用乘以第一式，乘以第二式，相減，並在上積分，注意到運算元的特點得：
注意到邊界條件中不同時為零，不同時為零，所以係數行列式 ，
因此，得： ，
而，故得本徵函式繫帶權因子正交，即
.§2.1.2線性常微分方程的級數解法
二階線性齊次常微分方程的一般形式是
,其中自變數是複數.
如果函式在點解析，則稱此點為方程的常點.如果是的至多一階極點，是的至多二階極點，即
其中在點解析，那麼點稱為方程的正則點.
我們僅討論方程在常點鄰域、正則點鄰域內的級數解，給出冪級數的解法.
2.1.2.1常點鄰域內冪級數解法
不失一般性，只討論點為常點的冪級數解法，如果，
就令，化為在原點內討論了.
例6：在點的鄰域內求解艾里方程的冪級數解.
解：設是待定的常數.
,代入方程，有
合併同類項，得
比較兩邊同次冪項的係數得：
由此得，還有遞推關係式
當時當時當時當時當時當時於是，易得
故得艾里方程的通解：
其中為任意實常數.艾里方程的兩個線性無關解為：
例7：在點的鄰域內，求解方程
解：點是此方程的常點，設
,代入方程，有
合併同類項，得
比較兩邊對應次冪的係數，得
由此有遞推公式
當時當時當時當時當時所以一般地有
得解為為任意常數,此方程的兩個線性無關的解是
.2.1.2.2正則點鄰域內的冪級數解法
不失一般性，只討論點為方程正則點的方程的冪級數解法.
例8:在點的鄰域內求方程
的冪級數解.
解：顯然是方程的正則點.為此設方程的解為
不妨設求導有, ,
代入方程得
消去，合併同類項，得
比較同次冪的係數，得
由於，得到關於的一元二次方程，這個方程稱之為指標方程，通常取實部較大的那個根為，較小的那個根為，這裡有
將代入第二式得遞推關係式：
當時，有當時有，一般地有
從而得由於不為整數，因此找方程的與線性無關的解可設為 .
這樣代入方程，得
比較同次冪的係數得
由此得到係數的遞推關係式：
當時，有
當時，有
一般地， 有
這樣得故得方程通解
,這裡為任意常數.
例9:在點鄰域內求方程的冪級數解.
解：顯然是方程的正則點，設方程的解為
,這裡都是待定的常數，不失一般性，總假定，否則把不為零的那項的的冪指數併入內.
, ,為方便起見，方程兩邊乘以，得
,代入上式得
消去，合併同類項，化簡得
注意到，得指標方程，與遞推關係式
指標方程有兩個根,
將代入遞推關係式得
當時，得，於是得
因此得由於這裡為整數，為了求得與線性無關的第二個解，這時設
由於為簡單起見，記，於是有
， 為待定常數，
於是, ,
代入變形後的方程中，得
合併同類項，化簡有
比較同次冪係數得
這裡，（否則與就線性相關）取得
當時當時
依次類推得，一般式
於是得故方程的通解為 ,
這裡為任意常數.
例10: 在點鄰域內求方程的冪級數解.
解：顯然是方程的正則點，設方程的解為
不妨設.
, ,因滿足方程，代入得
消去因子，合併同類項得
由於，得指標方程
,與係數的遞推關係式：
解指標方程得兩個根：.
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