第8章分離變數法
1. 設滿足方程和邊界條件，其中可為任意實數，試根據的可能取值求解方程，並根據邊界條件確定本徵值和本徵函式。
解：可分為三種情況討論：
1) ，解為，由邊界條件只能得到平庸解，顯然沒有意義3分
2) ，解為，代入邊界條件得，於是為任意常數2分
3) ，解為,代入邊界條件得
a) 當的取值使得時，必有，這和上兩種情況一樣沒有意義。
b)當的取值使得時，不必為零，這種是有意義的情況。此時由得到本徵值:
綜合2）和3）兩種情況得本徵值
此時，本徵解為5分)
1. 2.已知復變數函式為解析函式，其實部滿足下面的條件，
(1) 試給出所滿足的數學物理定解問題；
(2) 試用分離變數或其它方法找到泛定方程的乙個特解，並利用它將或方向上的邊界條件齊次化，然後求解；
(3) 根據求出虛部。
3.設滿足方程和邊界條件，其中可為任意實數，試根據的可能取值求解方程，並根據邊界條件確定本徵值和本徵函式。(本小題 11 分)
解：(1) 由題意，對於常微分方程：
1)2)
現在先求解，對三種情況進行討論：
a) ，由(1)式的解是
積分常數，，由(2)決定，即
由此得出，而。無實際意義，即無可能性。（3分）
b) ，式(1)的解是
則根據(2)式，有
，即為任意數
此時。（3分）
c) ，由(1)解是
則由(2)式，有
，，由此有且或者和
因，時，無實際意義。因此，只能有
和由同時我們可以得到的表示式：
3) （4分）
對應的本徵函式為： （1分）
4. 設滿足方程和邊界條件，其中可為任意實數，試根據的可能取值求解方程，並根據邊界條件確定本徵值和本徵函式。
5. 設滿足方程和邊界條件，其中可為任意實數，試根據的可能取值求解方程，並根據邊界條件確定本徵值。
解：可分為三種情況討論：
4) ，微分方程解為，由得，由得，得，得到平庸解，顯然沒有意義3分
5) ，解為，代入邊界條件得，也得到平庸解，沒有意義。
2分)6) ，解為,代入邊界條件得
a) 當的取值使得時，必有，這和上兩種情況一樣沒有意義。
b) 當的取值使得時，不必為零，這種是有意義的情況。此時由得到本徵值:
此時，本徵解為5分)
原子物理第八章
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