對第一篇重要公式、概念的總結及柯西定理的證明
1 復變函式
複數的三種基本形式：
複數的基本表示式：
複數的三角表示式：
複數的指數表示式：
重要的複數運算：
加減運算
乘法運算
除法運算
冪（n整數）
根柯西—黎曼方程或c-r條件兩種表示形式：
直角座標形式的柯西—黎曼條件
極座標形式的柯西—黎曼條件
復變函式可導的充分條件：
可導的充分條件是:f(z)的存在且連續，並滿足柯西—黎曼方程。
解析與可導不等價
函式在某點解析，則必在該點可導；反之不然，在區域b內的解析函式必在b內可導
構建解析函式的具體步驟：
1已知乙個調和函式，要構成乙個解析函式首先一定要驗證給定的函式是否是調和函式.
2然後由乙個調和函式，利用柯西－黎曼條件可求出另乙個與之共軛的調和函式，
3再由這一對共軛調和函式構建出乙個解析函式
用以四種方法來構建解析函式
(1) 不定積分法；（2）全微分法；（3）利用導數公式；（4）曲線積分法
函式解析與可導、連續、極限的關係
由解析函式定義可知，函式在區域內解析與在區域內可導是等價的. 但是，函式在一點處解析和在一點處可導是不等價的兩個概念. 就是說，函式在一點處可導，不一定在該點處解析.
但函式在一點解析，則一定在該點可導（而且在該點及其鄰域均可導）. 函式在一點處解析比在該點處可導的要求要嚴格得多. 區域解析區域可導
在某點解析，該點可導，該點連續，該點極限存在，反之均不一定成立。
2 復變函式的積分
柯西定理
(一)單連通區域柯西定理
如果函式f (z)在閉單連通域上解析，則沿上任一分段光滑閉曲線l（也可以是b的邊界），有
(二）復通區域柯西定理
1. 閉復通區域上的解析函式沿所有內外境界線正方向的積分和為零。
2. 閉復通區域上的解析函式沿外境界線逆時針方向的積分等於沿所有內境界線逆時針方向的積分的和。
柯西公式
1 有界區域的單連通柯西積分公式
如果f(α) 在閉單連通區域b內處處解析，l為b內的邊界線， z 為b內的任一點，那麼
稱為柯西積分公式, 簡稱柯西公式
3 冪級數展開
冪級數收斂半徑的幾種求法
達朗貝爾判別法（比值法）:
如果 ， 那麼收斂半徑為
根值法如果那麼收斂半徑為
泰勒級數展開
常見函式的泰勒展開式：
解析延拓：將解析函式定義域加以擴大
洛朗級數展開
孤立奇點的分類
(1)若展式中不含有z-z0的負冪項，則稱z0為f (z)的可去奇點；
(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)項負冪項，則稱z0是f (z)的極點，稱m為極點z0的階，按照m=1或m＞1，稱z0是f (z)的單極點或m階的極點；
(3)若展式中含有z-z0的無窮多個負冪項，則稱z0為f (z)的本性奇點。
4 留數定理
留數定理
留數的計算方法
(1) 如果為的可去奇點
那末(2）如果為的本性奇點則需將展開成洛朗級數求
如果為的奇點則有如下計算規則
規則1 如果為的一級極點, 那末
規則2如果為的m級極點, 那末
規則3設 , 及在處都解析，如果 ，
那末為的一級極點,且有
留數定理計算實變函式定積分原理：
型如的積分：
型如的積分
首先把積分轉化為圍道積分，即
變成然後形如的積分
==實軸上有單極點的情況
5 傅利葉變換
傅利葉級數展開
奇函式和偶函式的傅利葉展開
奇函式 f(z) 有
偶函式 f(z) 有
複數形式的傅利葉展開
傅利葉積分與傅利葉變換
奇函式和偶函式的傅利葉積分與傅利葉變換
奇函式 f(z) 有
偶函式 f(z) 有
複數形式的傅利葉積分與傅利葉變換
函式重要性質
挑選性：對連續函式
函式傅利葉變換
6 柯西定理的證明
(一)單連通區域柯西定理
討論復變函式積分（線積分）與積分路徑的關係
證明：如果函式f (z)在閉單連通域b上解析，則沿b上任一分段光滑閉曲線l（也可以是b的邊界），有
迴路積分化成面積分
連續，且
同理連續，且
推論：積分與連線起點和終點的路徑無關。
（二）復通區域柯西定理
人們常常遇到所研究的函式在區域上並非處處解析，即存在奇點（復變函式不解析的點）（如圖α點）
含孤立奇點的區域，可將其每個奇點的有限小鄰域挖掉，
使原區域變為復通區域在 l 圍成的區域中含f(z)的孤立
奇點，則可引入曲線l1將此奇點挖掉，在所構成的
復連通區域中， f(z)解析。
由柯西定理或又
l與l1方向相反，但與- l1方向相同。
(多連通域柯西定理) 設b是以
邊為界的有界n+1連通區域，其中l1，l2，…，ln是簡單光
滑閉曲線l內部互相外離的n條簡單光滑閉曲線。若f (z)在b
上連續，在b內解析，則有
其中c取關於區域b的正向，或寫為：
柯西定理小結
1. 閉單通區域上的解析函式沿境界線的積分為零。
2. 閉復通區域上的解析函式沿所有內外境界線正方向的積分和為零。
3. 閉復通區域上的解析函式沿外境界線逆時針方向的積分等於沿所有內境界線逆時針方向的積分的和。
4. 固定起點和終點，積分路徑的連續形變不改變積分
參考文獻
［1］著者：梁崑淼．書名：數學物理方法．出版地：北京市西城區德外大街4號出版社：高等教育出版社，印次年：2023年7月．
數學物理方法
課程類別專案主持人課程建設主要成員 校級優秀 省級優質 省級精品 國家精品 李高翔陳義成 王恩科 吳少平 劉峰 數學物理方法是理科院校物理類學生的一門重要基礎課，該課程所涉內容，不僅為其後續課程所必需，而且也為理論和實際研究工作廣為應用。因此，本課程教學質量的優劣，將直接影響到學生對後續課程的學習效...
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