數學基礎知識與典型例題
第四章三角函式
三角函式相關知識關係表
角的概念
1.①與（0°≤<360°）終邊相同的角的集合
（角與角的終邊重合）:;
②終邊在x軸上的角的集合:;
③終邊在y軸上的角的集合：
;④終邊在座標軸上的角的集合：.
2. 角度與弧度的互換關係：360°=2 180°=
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零, 熟記特殊角的弧度制.
3.弧度制下，扇形弧長公式，扇形面積公式，其中為弧所對圓心角的弧度數。
例1.已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那麼這個圓心角所對的弧長為( )
例2. 已知為第三象限角，則所在的象限是( )
(a)第一或第二象限
(b)第二或第三象限
(c)第一或第三象限
(d)第二或第四象限
三角函式的定義
1.三角函式定義：利用直角座標系，可以把直角三角形中的三角函式推廣到任意角的三角數.在終邊上任取一點（與原點不重合），記，
則，，，。
注: ⑴三角函式值只與角的終邊的位置有關，由角的大小唯一確定，三角函式是以角為自變數，以比值為函式值的函式.
⑵根據三角函式定義可以推出一些三角公式:
①誘導公式：即或
之間函式值關係，其規律是"奇變偶不變，符號看象限" ；如
②同角三角函式關係式：平方關係，倒數關係，商數關係.
⑶重視用定**題.
⑷三角函式線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函式值的一種圖示方法.如單位圓
2. 各象限角的各種三角函式值符號:
一全二正弦，三切四余弦
,(縱座標y的符號) (橫座標x的符號)
例3.已知角?的終邊經過p(4,?3)，求2sin?+cos?的值.
例4.若是第三象限角，且,
則是( )
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
例5.若
的終邊所在象限是（ ）
(a)第一象限
(b)第二象限
(c)第三象限
(d)第四象限
三角函式公式
三角函式的公式：（一）基本關係
公式組二 ()
公式組三
公式組四公式組五
公式組六
(二)兩角和與差公式
公式組一
公式組二:
,公式組三
,, ,,
常用資料:
的三角函式值,,
例6.化簡：
例7.已知tanα，tanβ是方程兩根，且α，β，則α+β等於( )
(a)(b)或
(c)或
(d)例8. 的值是（ ）
(a)2 (b)2+
(c)4 (d)
三角函式公式
注: ⑴以上公式務必要知道其推導思路，從而清晰地"看出"它們之間的聯絡，它們的變化形式
.如等.
從而可做到:正用、逆用、變形用自如使用各公式.
⑵三角變換公式除用來化簡三角函式式外，還為研究三角函式圖象及性質做準備.
⑶三角函式恒等變形的基本策略。
①常值代換：特別是用"1"的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
②項的分拆與角的配湊。
如分拆項：;
配湊角(常用角變換等.
③降次與公升次。即倍角公式降次與半形公式公升次。
④化弦（切）法。將三角函式利用同角三角函式基本關係化成弦（切）。
⑤引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這裡輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。
例9. 設,若則=（ ）
(a) (b)
(c) (d)4
例10例11. 求下列各式的值：⑴ ;
⑵tan17°+tan28°+tan17°tan28°
例12.已知為銳角，且，求的值三角函式公式例13. 已知α為第二象限角，且 sinα=求的值.
例14. 已知，（1）求的值；（2）求的值例15. 已知三角函式公式例16. 已知，求例17. 已知銳角a,b滿足cosa=,cos(a+b)=,求cosb.
例18. 已知，，tana =，tanb =，求2a + b.
例19. 在△abc中，已知cosa =，sinb =，則cosc的值為( )
(a) (b) (c) (d)
例20. 若關於x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有實根，求實數a的取值範圍三角函式三角函式的性質:
（a、＞0）
定義域rrr
值域週期性奇偶性奇函式偶函式當非奇非偶, 當奇函式單調性上為增函式；
上為減函式.
（）上為增函式;
上為減函式.
（）上為增函式；
上為減函式三角函式定義域值域rr
週期性奇偶性奇函式奇函式單調性上為增函式（）
上為減函式（）
以上性質的理解記憶關鍵是能想象或畫出函式圖象.
函式的影象和性質以函式為基礎,通過影象變換來把握.如①②(a>0,>0)相應地，
①的單調增區間的解集是②的增區間.
注:⑴或（）的週期;
⑵的對稱軸方程是（），對稱中心；
的對稱軸方程是（），對稱中心；
的對稱中心三角函式例21.下列函式中，既是（0，）上的增函式，又是以π為週期的偶函式是( )
(a)y=lgx2b)y=|sinxc)y=cosx (d)y=
例22.函式的最小正週期是（ ）
(abcd)
例23. 函式為增函式的區間是( )
(a) (b) (c) (d)
例24．函式的最小值是三角函式例25. 為了得到函式的圖象，可以將函式的圖象（ ）
(a)向右平移個單位長度b)向右平移個單位長度
(c)向左平移
移個單位長度d)向左平移個單位長度例26. 若函式的圖象（部分）如圖所示，則的取值是( )
(a) (b) (c) (d)
例27. 函式的最小正週期是_____.
例28．將函式的圖象上各點的橫座標擴大為原來的2倍，縱座標不變，再把所得圖象上所有點向左平移個單位，所得圖象的解析式是例29. 函式在區間的最小值為______.
例30.函式的最大值等於 .
例31. 已知，求函式的值域例32.已知函式
⑴求它的定義域和值域求它的單調區間；
⑶判斷它的奇偶性判斷它的週期性三角函式例33. 已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈r）
⑴求f(x)的最小正週期；⑵求f(x)單調區間；
⑶求f(x)圖象的對稱軸，對稱中心例34. 求函式f (x)=的單調遞增區間反三角函式反三角函式符號的運用: 、、
注意：反三角數符號只表示這個範圍的角，其他範圍的角需要用誘導公式變到這個範圍.
例35．適合的角是例36.求的值數學基礎知識與典型例題(第四章三角函式)答案例1.c例2.
d例3. 由定義 ：,sin?
=?,cos?=,∴2sin?
+cos?=?
例4.b解：∵,∴,則是第二或第四象限角,又∵,∴,則是第二或第三象限角,∴必為第二象限角例5.
d例6. 解：原式例7.
a例8.c 例9.b例10.
b例11. 解：⑴原式=;
⑵∵ ,∴tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1- tan17°tan28°∴原式=1- tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1
例12.解：∵,為銳角,∴∴
例13.解：當為第二象限角，且時，，所以=
例14. 解（1）：由，解得
（2）例15. 解： ∴⑴
⑵例16.解:∵∴,
例17. 解：∵cosa=,∴sina=,又∵cos(a+b)=<0 ,∴a+b為鈍角, ∴sin(a+b)=,
∴cosb=cos[(a+b)-a]=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina=（角變換技巧）
例18. 解： ,∴,又∵tan2a < 0，tanb < 0 ,∴，, ∴,∴2a + b =
例19. 解：∵c = p - (a + b) ,∴cosc = - cos(a + b) 又∵a?
(0, p),∴sina = 而sinb =,顯然sina > sinb ∴a > b,即b必為銳角 , ∴ cosb = ,∴cosc = - cos(a + b) = sinasinb - cosacosb =
例20. 解：原方程變形為：
2cos2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0,∴,∵- 1≤sinx≤1 ,∴； , ∴a的取值範圍是
例21.b例22.c例23.c例24.d 例25.b例26.c例27.例28.例29.1例30.
例31.解函式y的值域是例32. 解（1）x必須滿足sinx-cosx>0，利用單位圓中的三角函式線及，k∈z∴ 函式定義域為，k∈z∵ ∴當x∈時，∴ ∴ ∴ 函式值域為[）（3）∵定義域在數軸上對應的點關於原點不對稱,∴不具備奇偶性
（4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函式f(x)最小正週期為2π
注；利用單位圓中的三角函式線可知，以ⅰ、ⅱ象限角平分線為標準，可區分sinx-cosx的符號；以
ⅱ、ⅲ象限角平分線為標準，可區分sinx+cosx的符號例33. （1）t=π（2）增區間[kπ-，kπ+π]，減區間[kπ+
（3）對稱中心（，0），對稱軸，k∈z
例34. 解：∵f (x)= 令,∴y=,t是x的增函式,又∵0<<1,∴當y=為單調遞增時,cost為單調遞減且cost>0,∴2kp≤t<2kp+ (k?
z),∴2kp≤<2kp+ (k?z) ,6kp-≤x<6kp+ (k?z),∴f (x)=的單調遞減區間是[6kp-,6kp+) (k?
z)例35.d例36. 解：
arctan2 = a, arctan3 = b ,則tana = 2， tanb = 3,且， ,∴,而,∴a + b = ,又arctan1 = ,∴= p
4、如果你不服窮，就"瘋狂地付出"吧！
"there is no elevator to success――only stairs.
成功沒有電梯，只有一步乙個腳印的樓梯。"
如果你想改變自己的命運，如果你想通過自己而改變父母及家庭的命運，請先問一問自己："我曾為此付出過什麼？"
中國奧運史上第100枚金牌的獲得者――唐功紅，是一位體重超重量級，付出超重量級的女"超人"。
她練舉重可以練到手上剪下的老繭――可以裝滿一罐頭瓶；
她強迫自己增體重――每頓飯要吃撐到吐為止，終於超過了120公斤；
為了迎接奧運大賽，她忍著腰傷劇痛訓練舉重――每天舉的重量超過10噸（相當於每天舉起3輛解放牌汽車）......
這才叫"瘋狂的訓練"！
她獲得了在每次大賽後給家裡打報喜**的滿足，因為她媽媽、姐姐一定會守在**旁邊，聽她傳來的鄉音："姐，比賽你看了嗎？""看了！
看了！你真爭氣！""咱媽在嗎？
我想聽媽的聲音。"她媽媽每次都會激動地說不上話來。
因為家裡很窮，父親身體不好，唐功紅從小就開始乾重體力活兒，她媽媽說，從沒聽唐功紅說累過。
後來，家裡東借西湊了500塊錢送她上了體校。唐功紅說："我從來就沒有節假日，從來就沒有星期天，從來就沒有什麼娛樂，也沒有時間去考慮其他的問題，只有舉起、放下、放下、舉起，每天的運動量要達十幾噸。
"最終，因為她的拼勁，在雅典打破了世界紀錄，她憑實力讓父母開始過上了好日子。
所以，不管你所處的環境是多麼的"惡劣"，也不管你的擔子有多麼重，你絕對有能力和潛力"扭轉乾坤"！只要你肯付出，你所做過的美夢，終會有成真的一天！讓我們堅定地、快樂地熬下去吧！
心甘情願地付出吧！
成功真沒有電梯，只有一步乙個腳印的樓梯！
there is no elevator to success――only stairs.
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第三章數列 數學基礎知識與典型例題 第三章數列 答案 例1.當時，當時，經檢驗時也適合,例2.解 設則是公差為1的等差數列,又 當時 例3 解 從而有 例4.解 例5.a 例6.解 當時,當時，例7.c例8.192例9.c 例10.解 另解 是與的等比中項，例11.d例12.c 例13.解 當時,時...
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