材料力學-學習指導及習題答案
第一章緒論
1-1 圖示圓截面杆，兩端承受一對方向相反、力偶矩向量沿軸線且大小均為m的力偶作用。試問在桿件的任一橫截面m-m上存在何種內力分量，並確定其大小。
解：從橫截面m-m將杆切開，橫截面上存在沿軸線的內力偶矩分量mx，即扭矩，其大小等於m。
1-2 如圖所示，在桿件的斜截面m-m上，任一點a處的應力p=120 mpa，其方位角θ=20°，試求該點處的正應力σ與切應力τ。
解：應力p與斜截面m-m的法線的夾角α=10°，故
σ＝pcosα=120×cos10°=118.2mpa
τ＝psinα=120×sin10°=20.8mpa
1-3 圖示矩形截面杆，橫截面上的正應力沿截面高度線性分布，截面頂邊各點處的正應力均為σmax=100 mpa，底邊各點處的正應力均為零。試問桿件橫截面上存在何種內力分量，並確定其大小。圖中之c點為截面形心。
解：將橫截面上的正應力向截面形心c簡化，得一合力和一合力偶，其力即為軸力
fn=100×106×0.04×0.1/2=200×103 n =200 kn
其力偶即為彎矩
mz=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kn·m
1-4 板件的變形如圖中虛線所示。試求稜邊ab與ad的平均正應變及a點處直角bad的切應變。
解： 第二章軸向拉壓應力
2-1試計算圖示各桿的軸力，並指出其最大值。
解：(a) fnab=f, fnbc=0fn，max=f
(b) fnab=f, fnbc=－ffn，max=f
(c) fnab=－2 kn, fn2bc=1 kn, fncd=3 kn, fn，max=3 kn
(d) fnab=1 kn, fnbc=－1 kn, fn，max=1 kn
2-2 圖示階梯形截面杆ac，承受軸向載荷f1=200 kn與f2=100 kn，ab段的直徑d1=40 mm。如欲使bc與ab段的正應力相同，試求bc段的直徑。
解：因bc與ab段的正應力相同，故
2-3 圖示軸向受拉等截面杆，橫截面面積a=500 mm2，載荷f=50 kn。試求圖示斜截面m-m上的正應力與切應力，以及桿內的最大正應力與最大切應力。
解：2－4（2-11） 圖示桁架，由圓截面杆1與杆2組成，並在節點a承受載荷f=80kn作用。杆1、杆2的直徑分別為d1=30mm和d2=20mm，兩桿的材料相同，屈服極限σs=320mpa，安全因數ns=2.0。
試校核桁架的強度。
解：由a點的平衡方程
可求得1、2兩桿的軸力分別為
由此可見，桁架滿足強度條件。
2－5（2-14） 圖示桁架，承受載荷f作用。試計算該載荷的許用值[f]。設各桿的橫截面面積均為a，許用應力均為[σ]。
解：由c點的平衡條件
由b點的平衡條件
1杆軸力為最大，由其強度條件
2－6（2-17） 圖示圓截面桿件,承受軸向拉力f作用。設拉桿的直徑為d，端部墩頭的直徑為d，高度為h，試從強度方面考慮，建立三者間的合理比值。已知許用應力[σ]=120mpa，許用切應力[τ]=90mpa，許用擠壓應力[σbs]=240mpa。
解：由正應力強度條件由切應力強度條件
由擠壓強度條件
式(1)：式(3)得式(1)：式(2)得故 d：h：d=1.225：0.333：1
2－7（2-18） 圖示搖臂，承受載荷f1與f2作用。試確定軸銷b的直徑d。已知載荷f1=50kn，f2=35.
4kn，許用切應力[τ]=100mpa，許用擠壓應力[σbs]=240mpa。
解：搖臂abc受f1、f2及b點支座反力fb三力作用，根據三力平衡匯交定理知fb的方向如圖（b）所示。由平衡條件由切應力強度條件
由擠壓強度條件
故軸銷b的直徑
第三章軸向拉壓變形
3-1 圖示硬鋁試樣，厚度δ=2mm，試驗段板寬b=20mm，標距l=70mm。在軸向拉f=6kn的作用下，測得試驗段伸長δl=0.15mm，板寬縮短δb=0.
014mm。試計算硬鋁的彈性模量e與泊松比μ。
解：由胡克定律 3-2(3-5) 圖示桁架，在節點a處承受載荷f作用。從試驗中測得杆1與杆2的縱向正應變分別為ε1=4.
0×10-4與ε2=2.0×10-4。試確定載荷f及其方位角θ之值。
已知杆1與杆2的橫截面面積a1=a2=200mm2，彈性模量e1=e2=200gpa。
解：杆1與杆2的軸力（拉力）分別為
由a點的平衡條件
(1)2+(2)2並開根，便得
式(1)：式(2)得
3-3(3-6) 圖示變寬度平板，承受軸向載荷f作用。試計算板的軸向變形。已知板的厚度為δ，長為l，左、右端的寬度分別為b1與b2，彈性模量為e。
解：3-4(3-11) 圖示剛性橫樑ab，由鋼絲繩並經無摩擦滑輪所支援。設鋼絲繩的軸向剛度（即產生單位軸向變形所需之力）為k，試求當載荷f作用時端點b的鉛垂位移。
解：設鋼絲繩的拉力為t，則由橫樑ab的平衡條件
鋼絲繩伸長量由圖（b）可以看出，c點鉛垂位移為δl/3，d點鉛垂位移為2δl/3，則b點鉛垂位移為δl，即 3-5(3-12) 試計算圖示桁架節點a的水平與鉛垂位移。設各桿各截面的拉壓剛度均為ea。
解：(a) 各桿軸力及伸長（縮短量）分別為因為3杆不變形，故a點水平位移為零，鉛垂位移等於b點鉛垂位移加2杆的伸長量，即 (b) 各桿軸力及伸長分別為 a點的水平與鉛垂位移分別為(注意ac杆軸力雖然為零，但對a位移有約束)
3-6(3-14) 圖a所示桁架，材料的應力-應變關係可用方程σn=bε表示（圖b），其中n和b為由實驗測定的已知常數。試求節點c的鉛垂位移。設各桿的橫截面面積均為a。
(ab)
解：2根桿的軸力都為
2根桿的伸長量都為
則節點c的鉛垂位移
3-7(3-16) 圖示結構，梁bd為剛體，杆1、杆2與杆3的橫截面面積與材料均相同。在梁的中點c承受集中載荷f作用。試計算該點的水平與鉛垂位移。
已知載荷f=20kn，各桿的橫截面面積均為a=100mm2，彈性模量e=200gpa，梁長l=1000mm。
解：各桿軸力及變形分別為梁bd作剛體平動，其上b、c、d三點位移相等 3-8(3-17) 圖示桁架，在節點b和c作用一對大小相等、方向相反的載荷f。設各桿各截面的拉壓剛度均為ea，試計算節點b和c間的相對位移δb/c。
解： 根據能量守恆定律，有
3-9(3-21) 由鋁鎂合金杆與鋼質套管組成一復合杆，杆、管各載面的剛度分別為e1a1與e2a2。復合杆承受軸向載荷f作用，試計算鋁鎂合金杆與鋼管橫載面上的正應力以及杆的軸向變形。
解：設桿、管承受的壓力分別為fn1、fn2，則
fn1+fn2=f1)
變形協調條件為杆、管伸長量相同，即聯立求解方程(1)、(2)，得杆、管橫截面上的正應力分別為杆的軸向變形 3-10(3-23) 圖示結構，杆1與杆2的彈性模量均為e，橫截面面積均為a，梁bc為剛體，載荷f=20kn，許用拉應力[σt]=160mpa，許用壓應力[σc]=110mpa。試確定各桿的橫截面面積。
解：設桿1所受壓力為fn1，杆2所受拉力為fn2，則由梁bc的平衡條件得
變形協調條件為杆1縮短量等於杆2伸長量，即聯立求解方程(1)、(2)得因為杆1、杆2的軸力相等，而許用壓應力小於許用拉應力，故由杆1的壓應力強度條件得
3-11(3-25) 圖示桁架，杆1、杆2與杆3分別用鑄鐵、銅和鋼製成，許用應力分別為[σ1]=40mpa，[σ2]=60mpa，[σ3]=120mpa，彈性模量分別為e1=160gpa，e2=100gpa，e3=200gpa。若載荷f=160kn，a1=a2=2a3，試確定各桿的橫截面面積。
解：設桿1、杆2、杆3的軸力分別為fn1(壓)、fn2(拉)、fn3(拉)，則由c點的平衡條件杆1、杆2的變形圖如圖(b)所示，變形協調條件為c點的垂直位移等於杆3的伸長，即聯立求解式(1)、(2)、(3)得
由三桿的強度條件
注意到條件 a1=a2=2a3，取a1=a2=2a3=2448mm2。
3-12(3-30) 圖示組合杆，由直徑為30mm的鋼桿套以外徑為50mm、內徑為30mm的銅管組成，二者由兩個直徑為10mm的鉚釘連線在一起。鉚接後，溫度公升高40°，試計算鉚釘剪下面上的切應力。鋼與銅的彈性模量分別為es=200gpa與ec=100gpa，線膨脹係數分別為αl s=12.
5×10－６℃－１與αl c=16×10－６℃－１。
解：鋼桿受拉、銅管受壓，其軸力相等，設為fn，變形協調條件為鋼桿和銅管的伸長量相等，即
鉚釘剪下面上的切應力
3-13(3-32) 圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應力均相同，並分別為a、e與[σ]，試確定該桁架的許用載荷[f]。為了提高許用載荷之值，現將杆3的設計長度l變為l+δ。試問當δ為何值時許用載荷最大，其值[fmax]為何。
解：靜力平衡條件為
變形協調條件
為聯立求解式(1)、(2)、(3)得
杆3的軸力比桿1、杆2大，由杆3的強度條件
若將杆3的設計長度l變為l+δ，要使許用載荷最大，只有三桿的應力都達到[σ]，此時變形協調條件為
第四章扭轉
4-1(4-3) 圖示空心圓截面軸，外徑d=40mm，內徑d=20mm，扭矩t=1knm。試計算橫截面上的最大、最小扭轉切應力，以及a點處（ρa=15mm）的扭轉切應力。
解：因為τ與ρ成正比，所以
4-2(4-10) 實心圓軸與空心圓軸通過牙嵌離合器連線。已知軸的轉速n=100 r/min，傳遞功率p=10 kw，許用切應力[τ]=80mpa，d1/d2=0.6。
試確定實心軸的直徑d，空心軸的內、外徑d1和d2。
材料力學習題答案
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0材料力學習題扭轉答案
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