北京師大附中2008-2009學年度第二學期期中考試高二數學試卷（理科）
本試卷共150分，考試時間120分鐘。
一、選擇題（分）：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 設曲線的一條切線的斜率為，則該切線的方程為（ ）
ab.cd.
2. 函式上是減函式，則實數a的取值範圍是（ ）
abc. d.
3. 函式的單調增區間為（ ）
ab.c. d.
4. 某班新年聯歡會原定的6個節目已排成節目單，開演前又增加了3個新節目，如果將這三個節目插入節目單中，那麼不同插法的種數為（ ）
a. 504b. 210 c. 336d. 120
5. 從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（ ）
a. 140種b. 120種 c. 35種d. 34種
6. 若，則（ ）
abcd.
7. 已知複數（ ）
a. 49b. 7c. 25d. 5
8. 已知，則a的值為（ ）
a. 1或bc. d. 1或
9. 正三角形按一定的規則「挖洞」下列三個圖形依次是此過程的挖前及前兩次挖後的情形，則在第次挖洞後的圖形中，陰影三角形的個數為（ ）
abcd.
10. 函式，其中是常數，其影象是一條直線，稱這個函式為線性函式，對於非線性可導函式，在點附近一點x的函式值，可以用如下方法求其近似代替值：，利用這一方法求的近似代替值（ ）
a. 大於m b. 小於m c. 等於m d. 與m的大小關係無法確定
二、填空題（分）：
11. 函式的圖象所圍成的陰影部分（如圖）的面積是
12. 若函式+1既有極大值又有極小值，則實數a的取值範圍是
13. 等腰梯形abcd中，上底cd=40，腰ad=40，則當ab時，梯形abcd的面積最大，最大值為
14. 矩形abcd中，對角線ac、bd將其分為四個區域，用六種顏色給四個區域塗色，若每個區域只塗一種且相鄰區域不同色，則共有不同的塗色方法_________種。
15. 已知複數z滿足，則複數
三、解答題
16. 用數學歸納法證明：。
17. 設，用反證法證明：中至少有乙個不小於。
18. 設曲線c：在點m處的切線為l。
（1）求直線l的方程；
（2）若直線l與x軸，y軸所圍成的三角形的面積為，求s（t）的最大值。
19. 已知函式
（i）求的單調區間和值域；
（ii）設，函式，若對於任意，總存在，使得成立，求a的取值範圍。
20. 對於函式，若存在，使成立，則稱的不動點。如果有且僅有兩個不動點0和2。
（1）若函式上是減函式，求實數c的取值範圍；
（2）已知各項為負的數列的前n項和為，且，求該數列的通項公式；
（3）在（2）的條件下，求證：
［試題答案］
一、選擇題
1. d 2. c3. d4. a5. d
6. b 7. d8. c9. a10. a
二、填空題
1112.
13. 80， 14. 63015.
三、解答題
16. 證明：（1）當時，左邊=1，右邊
所以等式成立
（2）假設當時命題成立，即
所以，對一切正整數n，都有
17. 證明：假設，那麼
①+③得
與②矛盾，所以假設不成立，因此
18. 略解：（1）直線l的方程為
（2） 19. 解：對函式
令當x變化時，的變化情況如下表：
所以，當時，是減函式；當時，是增函式；當時，f(x)的值域為
（ii）對函式求導，得
因為因此當為減函式，從而當
又任給，則
即解（1）式得，
故的取值範圍為
20. 解答：（1）由
所以，由因為函式上是減函式，所以
當兩式相減得
（3）兩邊取對數得
設函式，則
所以函式
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