陝西師大附中2012級模考（4）數學試卷（理科）
一．選擇題（本題共10小題，滿分共50分）
1.設是虛數單位，則複數
a． b．-1 c．1 d．
2．右圖是一幾何體的三檢視(單位:),則這個幾何體的體積為（ ）
a. b. c. d.
3.下列推理是歸納推理的是
a．為兩個定點，動點滿足，，則動點的軌跡是以為焦點的雙曲線；
b．由，求出猜想出數列的前項和的表示式；
c．由圓的面積，猜想出橢圓的面積；
d．科學家利用魚的沉浮原理製造潛水艇。
4. 同時具有性質：①最小正週期是；②圖象關於直線對稱；③在上是增函式的乙個函式是
a． b． c． d.
5.已知直線與圓交於兩點，且，則實數的值為( )
a．2 b．-2 c．2或-2 d．或
6.若輸入資料 ，執行下面如圖所示的演算法程式，則輸出結果為（ ）
a. 0.6 b. 0.7 c. 0.8 d. 0.9
7.已知，則二項式的展開式中的係數為（ ）
a．10 b．-10 c．80 d．-80
8.如果對於任意實數，表示不超過的最大整數． 例如，．那麼「」是「」的
a．充分而不必要條件b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
9.設直線與函式，的影象分別交於點，則當達到最小值時的值為
a． 1 b． c． d．
10.設（其中），則大小關係為（ ）
a． b． c． d．
二．填空題（本題共5小題，滿分共25分）
11．已知，且的最大值為，則 ．
12.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，為雙曲線右支上一點，則最小值為 ．
13.將一根長為10厘公尺的鐵絲用剪刀剪成兩段，再將每一段剪成相等的兩段，然後將剪開的4段鐵絲圍成乙個矩形，則圍成的矩形面積大於6的概率等於 .
14.設函式的定義域為，若存在非零實數使得對於任意，有，且，則稱為上的高調函式．如果定義域為的函式為上的高調函式，那麼實數的取值範圍是 ．如果定義域為的函式是奇函式，當時，，且為上的4高調函式，那麼實數的取值範圍是 .
15.（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
a.(極座標與引數方程選講選做題)設曲線的引數方程為（為引數），直線的方程為，則曲線上的動點到直線距離的最大值為 ．
b.（不等式選講選做題）若存在實數滿足不等式,則實數的取值範圍為
c．（幾何證明選講選做題）如圖，切於點，割線經過圓心，弦於點．已知的半徑為3，，則
三． 解答題（本題共6小題，滿分共75分）
16.（本小題滿分12分）已知分別為的三邊所對的角，向量，，且
（1）求角的大小；（2）若成等差數列，且，求邊的長.
17. （本小題滿分12分） 已知數列，其中，數列的前項和，數列滿足．
（1）求數列的通項公式； （2）是否存在自然數，使得對於任意，，有恆成立？若存在，求出的最小值；
18.（本小題滿分12分）如圖所示，在邊長為的正方形中，點**段上，且，，作，分別交，於點，，作，分別交，於點，，將該正方形沿，摺疊，使得與重合，構成如圖所示的三稜柱．
（1）求證：平面； （2）求四稜錐的體積；
（3）求平面與平面所成角的余弦值．
19.（本小題滿分12分）在某校組織的一次籃球定點投籃比賽中，兩人一對一比賽規則如下：若某人某次投籃命中，則由他繼續投籃，否則由對方接替投籃．現由甲、乙兩人進行一對一投籃比賽，甲和乙每次投籃命中的概率分別是．兩人投籃3次，且第一次由甲開始投籃，假設每人每次投籃命中與否均互不影響．
（1）求3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率；
（2）若投籃命中一次得1分，否則得0分，用表示甲的總得分，求的分布列和數學期望．
20.（本小題滿分13分）已知拋物線，點關於軸的對稱點為，直線過點交拋物線於兩點．
（1）證明：直線的斜率互為相反數； （2）求面積的最小值；
(3）當點的座標為，且．根據（1）（2）推測並回答下列問題（不必說明理由）：
①直線的斜率是否互為相反數？ ②面積的最小值是多少？
21.（本小題滿分14分）已知函式，．
（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；
（2）求函式的單調區間；（3）當，且時，證明：．
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