哈師大附中2018 年高三第三次模擬考試理科數學
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.
1.已知集合，則=（ ）
ab． c． d．
2.已知複數，則複數的模為（ ）
a．5 b． c． d．
3.在2023年初的高中教師資訊科技培訓中，經統計，哈爾濱市高中教師的培訓成績，
若已知,則從哈市高中教師中任選位教師，他的培訓成績大於90分的概率為（ ）
a．0.85 b．0.65 c．0.35 d．0.15
4.已知等比數列的前項和為,若，則（ ）
a．2 b． c.4 d．1
5.已知，則=（ )
ab． cd．
6.非零向量滿足;,則與夾角的大小為（ ）
a．135b．120° c.60d．45°
7.下面是某幾何體的檢視，則該幾何體的體積為（ ）
ab． cd．
8.已知實數滿足,則函式存在極值的概率為（ ）
ab． cd．
9.執行下面的程式框圖，若輸入的值分別為1,2,輸出的值為4,則的取值範圍為（ ）
ab． cd．
10.已知點分別是雙曲線,的左、右焦點，為座標原點，點在雙曲線的右支上,的面積為4,且該雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的方程為（ ）
ab． cd．
11.稜長為2的正方體中，為稜中點，過點，且與平面平行的正方體的截面面積為（ ）
a．5 b． cd．6
12.已知函式 ，函式有四個不同的零點，從小到大依次為
則的取值範圍為（ ）
ab． cd．
第ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13.過拋物線的焦點的直線與拋物線交於兩點，若弦中點到軸的距離為5,則
14.設滿足約束條件,則的最小值為
15..已知數列滿足.記，則數列的前項和
16.已知定義在上的函式滿足:①在上為增函式;若時，成立，則實數的取值範圍為
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17.已知函式,直線是函式影象的一條對稱軸。
(i)求函式的解析式及單調遞增區間;
(ⅱ)在中，已知,求邊長
18.哈師大附中高三學年統計甲、乙兩個班級一模數學分數(滿分150分),每個班級20名同學,現有甲、乙兩班本次考試數學分數如下列莖葉圖所示:
(i)根據基葉圖求甲、乙兩班同學數學分數的中位數,並將乙班同學的分數的頻率分布直方圖填充完整；
(ⅱ)根據基葉圖比較在一模考試中，甲、乙兩班同學數學分數的平均水平和分數的分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)
(ⅲ)若規定分數在的成績為良好，分數在的成績為優秀，現從甲、乙兩班成績為優秀的同學中，按照各班成績為優秀的同學人數佔兩班總的優秀人數的比例分層抽樣,共選出12位同學參加數學提優培訓，求這12位同學中恰含甲、乙兩班所有140分以上的同學的概率.
19.已知等腰直角分別為的中點，將沿折到的位置,,取線段的中點為.
(i)求證://平面;
(ⅱ)求二面角的余弦值
20.已知橢圓的右焦點為,點為橢圓上的動點，若的最大值和最小值分別為和.
(i)求橢圓的方程
(ⅱ)設不過原點的直線與橢圓交於兩點,若直線的斜率依次成等比數列,求面積的最大值
21.已知函式在點)處的切線方程是.
(i)求的值及函式的最大值
(ⅱ)若實數滿足.
()證明:;
()若,證明:.
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.選修4-4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，以原點為極點，以軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極座標系，曲線的極座標方程為:.
(i)若曲線,引數方程為:(為引數)，求曲線的直角座標方程和曲線的普通方程
(ⅱ)若曲線，引數方程為 (為引數)，,且曲線,與曲線交點分別為,求的取值範圍，
23.選修4-5：不等式選講
已知函式.
(i)若.解不等式
(ⅱ)若不等式對任意的實數恆成立，求的取值範圍
數學三模答案（理科）
一、選擇題
二、填空題
13. 12 ; 14. -2
15. ; 16. .
三、解答題
17.解：（1）
是函式影象的一條對稱軸
，的增區間為：
（2）（方法一）
在中，由餘弦定理：
（方法二）由（1）知
在中，由正弦定理：
18.解（1）甲班數學分數的中位數
乙班數學分數的中位數
（2）乙班學生數學考試分數的平均水平高於甲班學生數學考試分數的平均水平；
甲班學生數學考試分數的分散程度高於乙班學生數學考試分數的分散程度.
（3）有頻率分布直方圖可知：甲、乙兩班數學成績為優秀的人數分別為10、14，
若從中分層抽樣選出12人，則應從甲、乙兩班各選出5人、7人，
設「選出的12人中恰含有甲、乙兩班的所有140分以上的同學」為事件a
則所以選出的12人中恰含有甲、乙兩班的所有140分以上的同學的概率為.
19解：(1)證明：取中點，連線
又四邊形為平行四邊形
(2) 面面,麵麵麵麵
面又兩兩互相垂直
如圖所示,分別以為軸建立空間直角座標系
則設平面,平面的法向量分別為則取
取二面角的平面角的余弦值為
20.解：（i）由已知得：
橢圓方程為
（ii）設（易知存在斜率，且），設
由條件知：
聯立(1)(2)得
點到直線的距離
且所以當時：
21.解
由題意有，解得
故，，，所以在為增函式，在為減函式
故有當時
（ⅱ）證明：
（ⅰ），
由（ⅰ）知，所以，即
又因為（過程略），所以，故.
（ⅱ）法一：
由（1）知
法二：，
建構函式，，
因為，所以，
即當時，，所以在為增函式，
所以，即，故
22.（1）
曲線的直角座標方程為
曲線的普通方程為
（2）將的引數方程：代入的方程：得：
由的幾何意義可得：
23.解：（1）
所以解集為
(2)所以的取值範圍為
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