2012-2013學年度高三綜合測試（三）試題
數學（文科）
本試卷共3頁，20小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．複數的虛部是（ ）
（abcd）
〖解析〗：，故選a．
2．直線在兩軸上的截距之和是（ ）
（a）6b）4c）3d）2
〖解析〗：令得，令得，，故選d．
3．定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則
等於（ ）
（abc）或d）
〖解析〗：由，，可得，又，所以，從而，故選b．
4．設，，則的值（ ）
（a） （b） （c） （d）
〖解析〗：由，，不妨在角的終邊上取點，則，於是由定義可得，，所以，故選a．
5．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有下列命題：
①若，則； ②若，，則；
③若，則； ④若，則；
其中真命題的個數是
（a）1個 （b）2個c）3個d）4個
〖解析〗：①②③不成立，故選a．
6．已知函式，則在上的零點個數為（ ）
（a）1b）2c）3d）4
〖解析〗：（數形結合）要求函式在上的零點個數，就要看函式與在上的交點個數，畫出圖象即可知兩個函式圖象有2個交點，故選b．
7．設命題，，則是的（ ）
（a）充分不必要條件 （b）必要不充分條件 （c）充要條件 （d）既不充分也不必要條件
〖解析〗：，，故選a．
8．下列不等式中，一定成立的是（ ）
（ab） （，）；
（cd）（）
解析〗：取否定a，取否定b，取否定d，，故選c．
9．曲線（）上的點到直線的距離的最小值為（ ）
（a）3b） （cd）4
〖解析〗：設點是曲線上滿足條件的點，則，當且僅當時取等號，故選a．
10．將函式的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點的橫座標縮短到原
來的倍，所得圖象關於直線對稱，則的最小正值為（ ）
（abcd）
〖解析〗：依題意可得 ，因為所得圖象關於直線對稱，所以，得（），故選b．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．
11．如圖是2023年元旦晚會舉辦的挑戰主持人大賽上，七位評委為某選手打出的分數的莖葉統計圖，去掉乙個最高分和乙個最低分後，所剩資料的方差為
〖解析〗：餘下分數為82,84,86,86，87，，方差為．
12．已知數列是等差數列，則首項
〖解析〗：．
13．若變數，滿足約束條件，則的最小值為
〖解析〗：可行域的四個頂點座標分別為，，，，目標函式必然在頂點上取得最大或最小值，將它們依次代入目標函式式得到，，，，故最小值為．
14．如圖，在△中，是邊上的點，且，，，則
的值為〖解析〗：不妨取，則，，，於是在△中，，所以，因此，於是在△中，．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）已知函式，．
（1）求函式的最大值和最小正週期；
（2）設△的內角，，的對邊分別，，，且，，若，求，的值．
〖解析〗：（1），
則的最大值為0，最小正週期是；
（2），則
∵，∴，∴，
∴，∴；
又∵，由正弦定理得，…………①
由餘弦定理得，即，……②
由①、②解得，．
16．（本小題滿分13分）
（1）已知實數，，求直線不經過第四象限的概率；
（2）已知，，從點射出的光線經直線反射後再射到直線上，最後經直線反射後又回到點，求光線所經過的路程的長度；
解：（1）直線不經過第四象限且
這是乙個古典概型，基本事件數為16，記事件「直線不經過第四象限」， 事件包含的基本事件數為4，所以。
（2）直線的方程，設點關於直線的對稱點為，則有
，所以又點關於直線（即軸）的對稱點為
光線所經過的路程的長度。
17．（本題滿分12分）某公司有價值萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產能力，就要對其進行技術改造，改造就需要投入，相應就要提高產品附加值假設附加值萬元與技術改造投入萬元之間的關係滿足：①與和的乘積成正比；②；③其中為常數，且
（1）設，求出的表示式，並求出的定義域；
（2）求出附加值的最大值，並求出此時的技術改造投入的的值
解（1）設可得
定義域為，為常數，
（2）①當②當上為增函式
18．（本題滿分14分）
如圖，已知⊙o所在的平面，是⊙o的直徑，，
c是⊙o上一點，且，與⊙o所在的平面成角，
是中點．f為pb中點．
(1) 求證： ；
(2) 求證：；
（3）求三稜錐的體積．
解：(1)證明：在三角形pbc中，是中點． f為pb中點
所以 ef//bc，
所以(2) ……（1）
又是⊙o的直徑，所以……（2）
由（1）（2）得
因 ef//bc ，所以
（3）因⊙o所在的平面，ac是pc在面abc內的射影，即為pc與面abc所成角pa=ac
在中，是中點，
19．（本題滿分14分）設、是函式（）的兩個極值點．
（1）若，求證：；
（2）如果，，求的取值範圍．
解：由已知：
故的兩根
(1) 由於由於
①×(– 3)＋②得：4a – 2b > 0 ∴
(2) 由韋達定理故當
這時，由
即為增函式（也可用求導法來證），故
當也為增函式
故這時，
綜上，b的取值範圍是
20．（本小題滿分14分）
已知數列滿足，（），數列滿足，數列滿足．
（1）求數列的通項公式；
（2）試比較與的大小，並說明理由；
（3）我們知道數列如果是等差數列，則公差是乙個常數，顯然在本題的數列中，不是乙個常數，但是否會小於等於乙個常數呢？若會，求出的取值範圍；若不會，請說明理由．
解：（1）由得：，
∴是等差數列，首項，公差；
∴，從而
（2）由（1）得 ，，
建構函式則
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，
∴，即，當且僅當時取等號，
∴，即，當且僅當時取等號，
（3）由（1）知，顯然是乙個遞減數列，
∴ 對恆成立。取，則
∴存在滿足恆成立，的取值範圍是．
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